Теоретическая часть. В теории изгиба и кручения важную роль играют моменты инерции сечения

В теории изгиба и кручения важную роль играют моменты инерции сечения. Необходимо вспомнить и повторить из теоретической механики правила нахождения центра тяжести сечения и статических моментов плоских фигур.

Необходимо уяснить вычисление моментов инерции для простейших плоских фигур (прямоугольника, треугольника, круга).

Рассматривая теорему о моменте инерции сечения относительно оси, параллельной центральной (I_y1=I_y+a²A), необходимо понять, что теорема справедлива только в том случае, если ось «у» проходит через центр тяжести фигуры.

Важно уяснить, что сумма моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей равна полярному моменту инерции относительно точки пересечения этих осей.

Приступая к изучению раздела «Кручение», следует отметить, что данную деформацию испытывают такие детали машин, как валы, пружины, иногда болты при затяжке гайки ключом и др. Деформация кручения появляется при нагружении бруса парами сил, плоскости, действия которых перпендикулярны к его оси. Моменты этих пар называют вращающими моментами.

При вычислении вращающих моментов пользуются формулой:

,

где N – мощность в кВт,

угловая скорость;

n – число оборотов в минуту;

М – вращающий момент в н.м.

Необходимо уяснить те допущения, на которых основана элементарная теория кручения стержней круглого сечения: крайние сечения остаются плоскими, расстояния между поперечными сечениями не изменяются, радиусы, проведенные на торцевых сечениях, остаются прямолинейными и поворачиваются вместе с сечениями на некоторый угол.

Следует разобраться в построении эпюры крутящих моментов. Эпюра показывает изменение величины крутящего момента по длине вала. Необходимо уметь самостоятельно выполнять вывод формулы для напряжений при кручении стержня круглого сечения.

При кручении напряжение распределяется по поперечному сечению неравномерно (в линейной зависимости от расстояния точки до полюса сечения)

, (10)

где ρ – расстояние до точки сечения;

I_p – полярный момент инерции площади сечения;

М_кр – крутящий момент в поперечном сечении;

τ – касательное напряжение в точке, находящейся на расстоянии ρ от оси бруса.

Опасными считаются все точки контура сечения, геометрическими характеристиками прочности и жесткости сечения являются соответственно полярный момент сопротивления и полярный момент инерции, значения которых зависят не только от площади, но и от формы сечения. Рациональным (т.е. дающим экономию материала) является кольцевое сечение, имеющее по сравнению с круглым сплошным, меньшую площадь при равном моменте сопротивления (моменте инерции).

Необходимо уметь рассчитывать диаметр вала из условия прочности:

и условия жесткости:

, где

где W_p – полярный момент сопротивления площади сечения,

ℓ - длина вала,

G – модуль упругости при сдвиге,

І_р – полярный момент инерции площади сечения.

Для бруса из пластичного материала принимают [τ]=(0,55-0,6) [σ_р], для валов из конструкционных сталей обычно принимают [τ]=20 … 50 МПа.

Допускаемый угол закругления в машиностроении принимают:

[φ⁰]=0,25 … 1,00 град/м.