Практическая часть. Задача 1.Дано: L = 4,5 м, q = 40 кН/м, Р = 150 кН, М = 15 кНм, , ,

Задача 1. Дано: L = 4,5 м, q = 40 кН/м, Р = 150 кН, М = 15 кНм, , ,

Решение:

1 Расчет начинаем с определения степени статической определимости. Так как неизвестных реакций четыре, а уравнений равновесия можно составить три, то задача один раза статически не определима.

2 Для неразрезной балки в качестве основной системы выбираем такую же балку но с врезанными шарнирами на промежуточной опоре в шарнирах (рисунок 16).

3 К основной системе приложим заданную нагрузку, определяем реакции опор и построим эпюры изгибающих моментов от заданной нагрузки.

Участок АВ

Участок ВС

 

Рисунок 16 - Статически неопределимая балка

4 Снимаем заданную нагрузку, прикладываем Х₁=1 и строим эпюру изгибающих моментов.

5 Составим каноническое уравнение

6 Определим коэффициенты канонического уравнения.

Перемножим эпюру М1 саму на себя

Перемножим эпюру М₁ и М_р

7 Решим каноническое уравнение.

8 К каждой из балок прикладываем заданную нагрузку и найденный момент. От них определяем реакции опор и строим эпюры Q и М.

Участок АВ

Участок ВС

9 Выполним деформационную проверку.

Перемножим эпюру М₁ и М_s

10 Из эпюры изгибающих моментов находим опасное сечение

Из условия прочности

Найдем необходимый момент сопротивления сечения

Для одного швеллера

По таблице сортамента выбираем швеллер №33 ГОСТ 8239 .

11 Определим прогиб и угол поворота в заданных сечениях.

В точке К прикладываем единичную силу, от нее определяем реакции опор и строим эпюру изгибающих моментов, которую «перемножаем» на эпюру М.

Знак «плюс» указывает на то, что точка К перемещается по направлению единичной силы, т.е. вниз.

Рисунок 17 - Прогиб и угол поворота в заданных сечениях

 

В сечении L прикладываем единичный момент, от него строим эпюру изгибающих моментов, которую «перемножаем» на эпюру М.

Знак «плюс» указывает на то, что сечение в L поворачивается в направлении единичного момента, т.е. по часовой стрелке.

Задача 2. Для статически неопределимой балки (рисунок.18, а) требуется:

1) раскрыть ее статическую неопределимость;

2) построить эпюру изгибающих моментов от действия внешних (про­летных) нагрузок;

3) подобрать двутавровое сечение балки из условия ее прочности;

4) определить угол поворота сечения L и прогиб балки в сечении К.

Дано: q = 6кН/м; m = 4кНм; а = 1,2м; [s] = 160МПа; E = 2∙10⁵ МПа.

Рисунок 18- Статически неопределимая балка:

а - заданная система; б - основная система; в - эквивалентная система;

г - грузовая эпюра M_p; д - единичная эпюра М₁; е - эпюра;

ж - окончательная эпюра M; з - эпюра от единичного момента М_m;

и - эпюра от единичной силы М_Р

Решение:

1 Вычисляем степень статической неопределимости балки.

По условиям закрепления имеем четыре опорных реакции: две на опоре А и по одной на опорах В и С. Для плоской системы сил можно составить только три уравнения равновесия, поэтому степень статической неопределимости балки n = 4‑3 = 1, т.е. система один раз статически неопределима.

2 Выбираем основную систему.

Для этого разрезаем балку над средней опорой, тем самым, устраняя лишнюю связь, и вставляем над опорой про­межуточный шарнир. «Лишней» неизвестной в этом случае будет изгибающий момент в опоре В, который обозначаем Х₁. На рисунке18 ,б показана основная система. Загружая основную систему пролетными нагрузками и лишней неизвестной, получаем эквивалентную систему (рисунок 18, в). Достоинство принятой основной системы в том, что каждый пролет работает как самостоятельная балка и при построении эпюр может рассматриваться отдельно.

3 Строим в основной системе эпюру изгибающих моментов от заданной нагрузки M_p.

Рассмотрим участок АВ. Так как на этом участке нагрузок нет, для построения эпюры достаточно знать величины изгибающих моментов в сечениях А и В. На опоре А по условию М = m = 4 кНм; на опоре В изгибающий момент равен нулю (опорный момент Х₁ не учитываем), эпюра моментов ограничена прямой линией.

Рассмотрим участок ВС.

Вследствие симметрии пролетной нагрузки реакции опор будут одина­ковыми:

Изгибающий момент в произвольном сечении x

и эпюра изгибающего момента ограничена квадратной параболой.

Строим эту параболу по трем лежащим на ней точкам:

x_B = 0, M_B= 0;

x = 1,2 м,

x_c = 2,4 м, M_c= 0.

Эпюра М_p показана на рис.3, г.

4 Строим эпюру от единичного момента .

В сечениях А и С изгибающие моменты равны нулю, а в сечении В изгибающий момент равен единице. Эпюра линейна, ее вид показан на рис.3, д.

5 Составляем каноническое уравнение метода сил

и вычисляем коэффициент δ₁₁ при неизвестном. Для этого эпюра умно­жается сама на себя. Чтобы упростить вычисления, разбиваем эпюру на два треугольника ADB и BDC и площадь каждого из них умножаем на ординату, расположенную в центре тяжести каждого из них (рисунок 18, д):

После подстановки числовых значений имеем

Для определения ∆ _1р перемножаем эпюры М_P и (рисунок 18, г, д)

Площадь параболического сегмента вычисляется по формуле:

где q - интенсивность распределенной нагрузки; l - длина участка балки под нагрузкой.

Вычисляем свободный член канонического уравнения ∆ _1р:

Произведя соответствующие вычисления, получаем

Тогда каноническое уравнение принимает вид

откуда находим

Отрицательное значение X₁ говорит о том, что следует изменить направление момента X₁ на обратное.

6 Строим эпюру изгибающих моментов.

Считая момент X ₁ внешней нагрузкой, можно определить опорные реакции, рассматривая каждый пролет балки отдельно, а затем построить эпюру моментов обычным способом, как это выполнялось для статически определимой балки. В данном случае удобнее воспользоваться уже построенными эпюрами.

Эквивалентная система находится под действием заданных пролетных нагрузок и вычисленного момента X ₁. Следовательно, окончательная эпюра изгибающих моментов может быть представлена суммой двух эпюр

M=M_p + M_x1.

Первая эпюра уже построена (рисунок 18, г), а вторая получается умножением ординат эпюры (рисунок 18, д) на вычисленное значение X₁. Эпюра показана на рисунке 18, е. Геометрически складываем эпюры М_p и (рисунок 18, г, е), суммируя ординаты эпюр в характерных точках:

M_A=4+0= 4 кН·м. M_E=4,32-1,47= 2,85 кН·м.

M_B= 0-2,93= -2,93 кН·м. M_C=0.

По найденным значениям М строим окончательно эпюру изгибающих моментов (рисунок 18, ж).

Для проверки правильности расчетов и построения эпюры изгибающих моментов можно использовать условие равенства нулю угла поворота смежных сечений балки над средней опорой (перемещение по направлению отбро­шенной связи). Этот угол вычисляется перемножением окончательной эпюры моментов (рисунок 18, ж) на эпюру (рисунок 18, д). При перемножении эпюру М удобно представить в виде трех треугольников, показанных пунктирными линиями на рисунке 18, ж, и параболического сегмента.

Угол поворота смежных сечений балки над средней опорой вычислим методом перемножения эпюр:

Площади эпюр и соответствующие ординаты под их центрами тяжести

определяются по соответствующим эпюрам (рисунок 18, ж) и (рисунок 18 ,д).

Итак,

Полученный результат свидетельствует о том, что эпюра изгибающих моментов построена правильно. Небольшая погрешность, не превышающая 5%,возникла в результате округлений.

7 Подбираем сечение балки по условию прочности.

При изгибе условие прочности имеет вид

По эпюре М (рис.18, ж) находим максимальный момент = 4 кН·м, а по условию задачи [σ] = 160МПа. Подставляя эти числа в последнюю формулу, по­лучим величину требуемого момента сопротивления двутавра:

По таблицам сортамента прокатной стали подбираем номер двутавра и выписываем его геометрические характеристики: двутавр №10, W_x= 39,7cм ³, J_x = 198см ⁴.

(Момент сопротивления подобранного двутавра больше требуемого расчетного, но меньшего размера в таблице нет, поэтому принимаем двутавр №10).

8 Определяем перемещения.

Определяем угол поворота сечения L.

Для этого приложим в сечении L ос­новной системы единичный момент и построим эпюру моментов (рисунок 18 з). Угол поворота сечения L вычисляем, перемножая эпюры М и (рисунок 18 ж, з):

Определяем прогиб в сечении К.

Приложим в сечении К основной системы единичную силу Р=1 и построим от нее эпюру моментов _р(рисунок 18, и). Так как сила Р=1 приложена в середине пролета AB, опорные реакции будут равны:

R_A = R_B = 0,5.

Определяем моменты в характерных точках участка АВ:

M_A = 0; М_K = 0,5 ∙;1,8 = 0,9м; M_B = 0.

Прогиб в сечении К вычисляется перемножением эпюр М и ( рисунок 18, ж, и). Площадь при этом берем с эпюры М, а соответствующая ордината на эпюре равна величине средней линии трапеции, то есть алгебраической полусумме ее оснований:

Результат получен со знаком плюс, прогиб направлен в сторону приложенной единичной силы, то есть вниз.

Вопросы для самопроверки

 

1. Чем принципиально отличаются статически неопределимая балка от статически определимой?

2. Какие методы могут быть использованы для расчета статически неопределимых балок?

3. Как решают простейшие статически неопределимые балки?

4. Как записывается уравнение трех моментов?

5. Какие балки называют статически неопределимыми?

6. Какой порядок расчета используется при решении статически неопределимых балок?

7. Каким методом ведется проверка балки на жесткость?

8. Запишите условие прочности балки по нормальным напряжениям?

9. Объясните, как, используя условия прочности по нормальным напряжениям, подбираются балки из ГОСТа?

10. Для чего и как проводятся деформационная проверка при решении статически неопределимых балок?