Метод обобщения

Рассмотрим уравнения экспоненты и прямой:

.

Найдем такую обобщенную формулу, которая будет включать множество частных случаев, в том числе уравнения прямой и экспоненты.

Обобщим две последние формулы путем введения нового параметра u. Используя замечательный предел

,

представим обобщенное уравнение в виде

(11.2.1)

При u = 1 из (11.2.1) имеем прямую, при u →0 – экспоненту.

Если из опыта величина y₀ неизвестна, то формулу (11.2.1) целесообразно представить в другом виде

, (11.2.2) где .

Чтобы увеличить аппроксимирующие возможности формул (11.2.1) и (11.2.2), введем в них дополнительный параметр β

(11.2.3)

. (11.2.4)

Исследуем темп прироста кривой (11.2.3). Для этого вначале прологарифмируем ее:

.

Тогда

. (11.2.5)

В частном случае, при u →0

. (11.2.6)

Из последней формулы следует, что при β = 1 (u →0) мгновенный темп прироста (и, следовательно, темп роста) не зависит от времени t. При β>1 темп прироста со временем растет, при β<1 – убывает. Это значит, что параметр β является показателем ускорения или замедления темпа прироста (и темпа роста) кривой (11.2.3), которая при u →0 имеет вид

. (11.2.7)

Из (11.2.5) следует, что при β = 1, u < 0 темп прироста кривой (11.2.3) со временем растет, а при u > 0 – убывает.

По характеру темпа прироста эмпирического временного ряда может быть установлена выравнивающая кривая, обладающая нужными свойствами.

На основании формул (11.2.3) и (11.2.4) можно получить другие кривые роста. Например, при t = e^x

, (11.2.8)

. (11.2.9)

При

(11.2.10)

. (11.2.11)

Приведенные четырехпараметрические кривые роста содержат множество частных случаев и могут использоваться в различных областях знания для выравнивания и прогнозирования различных статистических зависимостей, в том числе временных рядов.