Обобщенная кривая роста

Найдем для примера оценки параметров кривой роста, заданной четырехпараметрической формулой (11.2.3). Для этого приведем ее к линейному виду

. (11.3.14)

Примем обозначение

.

Тогда последняя формула перепишется в виде

. (11.3.15)

Рассеяние эмпирических значений случайной величины Y относительно теоретической прямой (11.3.15) будет описываться первой системой непрерывных распределений, в частности, нормальным законом.

Распределение случайной величины y при заданных значениях t можно найти по распределению случайной величины Y:

Теперь можно воспользоваться формулами (11.3.3) – (11.3.5) для нахождения оценок параметров α, β, S², заменив величины соответственно на . Несмещенная оценка остаточной дисперсии случайной величины Y_t в этом случае будет вычисляться по формуле

,

где величина

рассчитывается по статистическим значениям уровней временного ряда y при каждом значении t и заданном значении параметра u. Параметр y₀ должен быть либо известен из опыта, либо задан. Меняя значения параметра u (например, с шагом 0,1 или 0,01), в итоге найдем тот вариант кривой роста, параметры которого минимизируют остаточную дисперсию.

Найдем формулы для вычисления верхней и нижней доверительных границ уровней временного ряда. На основании формулы (11.3.14) имеем

,
откуда

,
где .