Задачі до розділу5.2

1. Сформулювати інтегральну теорему Лапласа.

2. Сформулювати основні правила знаходження функції Лапласа Ф(х).

3. Яка умова використання формули Пуассона?

4. Записати формулу Пуассона і пояснити її складові.

Розділ 6.1. Дискретні і неперервні випадкові величини

Означення: Випадковою величиною називається така величина, яка за результатом досліду (випробування) може набувати того чи іншого значення (якого саме – заздалегідь невідомо).

Випадкові величини прийнято позначати останніми великими буквами латинського алфавіту X, Y, Z і т.п.

Прикладом випадкових величин можуть бути:

1. Кількість стандартних деталей серед 100 виготовлених. Ця величина випадкова і може приймати значення від 0 до 100.

2. Витрати на виробництво продукції.

3. Значення оцінки на іспиті можуть бути: “2”, “3”, “4”, “5”. Це значення випадкової величини.

4. Кількість студентів даного потоку, присутніх на лекції.

5. Відстань транспортування руди в кар’єрі.

Серед випадкових величин розрізняють дискретні і неперервні.

Означення: Дискретною випадковою величиною називається така величина, яка приймає окремі ізольовані значення.

До дискретних випадкових величин можна віднести ті, які описані у наведених вище прикладах 1, 3, 4.

Множина можливих значень дискретної випадкової величини може бути скінченою або нескінченою множиною.

Означення: Неперервною випадковою величиною називають таку величину, яка може приймати всі значення з деякого скінченого або нескінченного проміжку.

До неперервних випадкових величин можна віднести ті, які описані у наведених прикладах 2 і 5.

Множина можливих значень неперервної випадкової величини нескінченна.

Розділ 6.2. Закон розподілу дискретної випадкової величини

Нехай дискретна випадкова величина Х може приймати n значень:

х₁, х₂,...,х_n. Будемо вважати, що всі вони різні (в інакшому випадку їх потрібно об’єднати). Крім того, будемо вважати, що вони розміщені у зростаючому порядку.

Для повної характеристики дискретної випадкової величини, крім переліку всіх її можливих значень, повинні задаватись ймовірності , які відповідають цим можливим значенням.

Означення: Законом розподілу дискретної випадкової величини називається відповідність між можливими значеннями і їх ймовірностями.

Закон розподілу дискретної випадкової величини можна задавати таблично, аналітично (у вигляді формули) і графічно (у вигляді багатокутника розподілу).

Найбільш зручним є табличний спосіб задання

Таблиця 1

Значення випадкової величини Х			...		...
Ймовірність Р			...		...

Таблиця 1 є таблицею розподілу дискретної випадкової величини, її також називають законом розподілу дискретної випадкової величини.

Події х₁, х_2,..., х_n є несумісними і єдино можливими, тобто вони утворюють повну групу, тому сума їх ймовірностей дорівнює одиниці

. (6.1)

Ймовірності обчислюються або за даним значенням випадкової величини , або даються за відомим законом розподілу .

Приклад:

В грошовій лотереї розігрується 1000 білетів. Розігрується один виграш у 100 грн., 10 – по 20 грн., 20 – по 10 грн., 100 – по 1 грн. Випадковою величиною Х є вартість можливого виграшу власника одного лотерейного білета. Скласти закон розподілу випадкової величини Х.

Рішення

Випадкова величина Х може приймати значення: {0, 1, 10, 20, 100}. Відповідні ймовірності у даному випадку можна знайти за класичним означенням ймовірності появи події (формула 1.1 заняття 1)

Отже, знаходимо при

Закон розподілу даної випадкової величини має вигляд

Задачі до розділу 6.2

Задача 6.2.1

Партія із 8 виробів вміщує 5 стандартних. Навмання відбирають 3 вироби. Скласти таблицю закону розподілу числа стандартних виробів серед відібраних.

Рішення

Перелічимо всі можливі значення дискретної випадкової величини Х – числа стандартних виробів серед відібраних Х:{0, 1, 2, 3}. За формулою (1.5) заняття 1 знайдемо ймовірності кожного значення дискретної випадкової величини

Зробимо перевірку:

Таким чином, закон розподілу ймовірностей дискретної випадкової величини Х набуде вигляду

Х
Р

Задача 6.2.2

Пристрій складається з п’яти незалежно працюючих елементів. Ймовірність відмови кожного елементу однакова і дорівнює 0,3. Скласти закон розподілу числа працюючих елементів.

Рішення

Перелічимо всі можливі значення дискретної випадкової величини Х – числа працюючих елементів Х:{0, 1, 2, 3, 4, 5}. Оскільки ймовірність відмови кожного елементу однакова, то і ймовірність безперебійної роботи однакова і дорівнює Відповідні ймовірності у законі розподілу знайдемо за формулою Бернуллі (формула 4.1 заняття 4)

Таким чином, закон розподілу ймовірностей дискретної випадкової величини Х набуде вигляду

Задача 6.2.3

Два гральні кубики одночасно підкидають два рази. Написати закон розподілу дискретної випадкової величини Х – кількості появи непарного числа очок на верхній грані кожного кубика.

Задача 6.2.4

Ймовірність одержання задатку при заключенні кожного договору дорівнює 0,6. Заключено 8 договори. Знайти закон розподілу випадкової величини Х – кількості одержаних задатків.

Задача 6.2.5

У партії з 10 телефонних апаратів є 4 несправні. Навмання відібрано 3 апарати. Скласти ряд розподілу дискретної випадкової величини Х – кількості справних апаратів серед відібраних.

Розділ 6.3. Математичне сподівання дискретної випадкової величини та її властивості

Якщо закон розподілу дискретної випадкової величини невідомий, тоді описати випадкову величину можна за допомогою чисел, що носять назву числових характеристик випадкової величини. До числа важливих числових характеристик відноситься математичне сподівання, яке наближено дорівнює середньому значенню випадкової величини.

Означення: Математичним сподіванням дискретної випадкової величини називають суму добутків значень випадкової величини на відповідні цим значенням ймовірності

. (6.2)

Нехай проведено n випробувань, у яких випадкова величина Х прийняла значення

х₁ - m₁ раз,

х₂ - m ₂ раз,

.....................

х_k - m_k раз.

Тоді середнє арифметичне значення дорівнює

або

,

де - відносні частоти, а .

Якщо число випробувань велике, тоді відносна частота наближається до ймовірності, тобто тоді середнє арифметичне наближається до математичного сподівання

.

Таким чином, математичне сподівання – це середнє очікуване значення випадкової величини.

Розглянемо основні властивості математичного сподівання.

Властивість 1. Математичне сподівання сталої величини дорівнює сталій величині.

де С = const.

Доведення

Якщо випадкова величина у всіх випробуваннях приймає одне й те ж значення С, то ймовірність такої події дорівнює одиниці. Тоді за означенням потрібно цю величину помножити на одиницю

Властивість 2. Сталий множник можна виносити за знак математичного сподівання

Доведення.

Нехай задано розподіл дискретної випадкової величини Х

Розглянемо розподіл дискретної випадкової величини С Х

Тоді математичне сподівання для останнього

.

Властивість 3. Математичне сподівання добутку двох незалежних випадкових величин X і Y дорівнює добутку їх математичних сподівань

Перевіримо властивість 3 для окремого випадку. Нехай задано закони розподілу дискретних випадкових величин Х і У.

Складемо всі значення, які може приймати випадкова величина XY, а також знайдемо відповідні їм ймовірності

ХY
P

Тоді математичне сподівання добутку запишеться

Властивість 4. Математичне сподівання суми двох випадкових величин дорівнює сумі їх математичних сподівань

Доведення

Нехай задано закони розподілу дискретних випадкових величин Х і У.

Складемо всі значення, які може приймати випадкова величина X+Y. Для цього до кожного можливого значення Х додамо кожне можливе значення У. Тоді випадкова величина X+Y приймає значення: { }. Позначимо відповідні ймовірності . Тоді математичне сподівання випадкової величини X+Y дорівнює сумі добутків всіх її можливих значень на їх ймовірності

Доведемо, що .

Подія, яка полягає у тому, що випадкова величина Х приймає значення з ймовірністю , тягне за собою подію, що полягає у тому, що випадкова величина X+Y приймає значення або з ймовірністю і навпаки. Звідси випливає, що .

Аналогічно доводяться твердження

.

Тоді

.