Задачі до розділу 7.2
Знайти дисперсію та середнє квадратичне відхилення кількості очок, що випадають при киданні кубика.
Рішення
Перелічимо всі можливі значення дискретної випадкової величини Х – кількості очок, що випадають при киданні кубика Х:{1, 2, 3, 4, 5, 6}. Складемо закон розподілу ймовірностей дискретної випадкової величини Х.. Ймовірності випадання будь якої з шести можливих варіантів кількості очок однакові
Знайдемо математичне сподівання дискретної випадкової величини Х:
Знайдемо дисперсію дискретної випадкової величини Х двома способами: за означенням (І спосіб) і за теоремою (ІІ спосіб).
І спосіб
За формулою (7.1) знайдемо дисперсію щодобового продажу товару, для цього враховуючи, що М(Х)=3,5, складемо таблицю розподілу
ІІ спосіб
Для застосування формули (7.3) складемо таблицю розподілу
Знайти двома способами дисперсію та середнє квадратичне відхилення дискретної випадкової величини, яка задана законом розподілу:
а)
б)
Закони розподілу дискретних незалежних випадкових величин Х та У наведено відповідно у таблицях
Знайти дисперсію та середнє квадратичне відхилення дискретної випадкової величини 3 Х+2У.
Скласти закон розподілу дискретної випадкової величини Х – числа випадання „герба” при п’яти киданнях монети, знайти математичне сподівання, дисперсію і середнє квадратичне відхилення.
Розділ 7.3. Завдання до заняття 7
1. Сформулювати теорему про математичне сподівання відхилення випадкової величини. 2. Дати означення дисперсії. 3. Сформулювати теорему, що полегшує обчислення дисперсії. 4. Перелічити властивості дисперсії. 5. Дати означення середнього квадратичного відхилення.
Розділ 8.1. Функція розподілу (інтегральна функція) та її властивості
Як відомо із заняття 6 неперервною випадковою величиною називають таку величину, яка може приймати всі значення з деякого скінченного або нескінченного проміжку, тому задати її закон розподілу за допомогою таблиці неможливо. Таким чином для описання неперервної випадкової величини
Геометрична інтерпретація функції розподілу полягає у наступному. Якщо випадкову величину розглядати як випадкову точку на осі Ох (рис. 1), яка за результатом випробування може зайняти те чи інше положення на цій осі, то функція
Рис.1. Геометрична інтерпретація всіх можливих значень функції розподілу.
Неперервна випадкова величина має неперервну функцію розподілу, графік якої має форму плавної кривої (рис. 2).
Рис.2. Геометрична інтерпретація функції розподілу неперервної випадкової величини.
Розглянемо загальні властивості функції розподілу.
Дійсно, це випливає з означення інтегральної функції як ймовірності і властивості ймовірності.
Доведення Нехай 1) або Х прийме значення менше х1 і
2) або Х прийме значення з проміжку
Тоді за теоремою додавання ймовірностей маємо
або
Із формули (8.2) випливає
Наслідок 1:Ймовірність того, що випадкова величина
Випадкова величина задана інтегральною функцією
Знайти ймовірність того, що випадкова величина Х прийме значення з проміжку [-2,0). Рішення За формулою (8.3) маємо
тобто
Наслідок 2: Ймовірність того, що неперервна випадкова величина Х прийме певне значення дорівнює нулю.
Доведення
Підставимо у формулу (8.3)
Нехай
Підкреслимо, що формула (8.4) теж тільки для неперервних випадкових величин, на відміну від дискретних. Враховуючи формулу (8.4), можна записати
Наприклад:
Зауваження: Сформульоване означення функції розподілу підходить і для дискретної випадкової величини.
Скласти функцію розподілу ймовірностей випадкової величини Рішення Для даного прикладу всі можливі значення випадкової величини Х: { 0,1,2}. Позначимо через
Тобто,
При При
При
Складемо розподіл випадкової величини Х
За даними таблиці знаходимо функцію розподілу для дискретної випадкової величини
Ця функція є кусково-неперервною з точками розриву при всіх
Для всіх значень
Для
Графік функції F(x) розподілу дискретної випадкової величини для даного прикладу наведено на рис.3.
|
Задача 7.2.1
.
.
Задача 7.2.2
Теоретичні питання до заняття 7
необхідно припустити, що відома ймовірність попадання Х у довільний інтервал або відома функція розподілу ймовірностей.
Означення: Функцією розподілу (інтегральною функцією розподілу) випадкової величини Х називається ймовірність того, що випадкова величина Х прийме значення менше від фіксованого дійсного числа х, тобто
. (8.1)
є ймовірність того, що випадкова точка Х у результаті випробування попадає лівіше х.
.
, якщо 
.
, складається з двох подій:
;
і 
.
,
. (8.2)
, бо 
прийме значення із проміжку 
, дорівнює приросту функції 
. (8.3)
,
, 
, тоді
.
. Оскільки Х - неперервна випадкова величина, то функція 
в точці 
, тобто 
, а значить
. (8.4)
.
.
; 
.
і 
випадкові події виготовлення стандартної деталі кожним верстатом з ймовірностями 
і 
, а через 
і 
- протилежні події (виготовлення бракованої деталі), ймовірності яких відповідно 
і 
. Знайдемо ймовірність появи випадкової величини Х.
- всі браковані, 
- одна стандартна деталь
- дві стандартні деталі,
Значення F(x) знаходиться так. У перший інтервал 
не попадає жодне із значень Х = 0, 1, 2, тому ймовірність дорівнює 0. Для всіх 
лівіше знаходиться одне значення Х=0 з ймовірністю 0,015, тому що
, що у третьому інтервалі, лівіше знаходяться два значення Х=0 і Х=1, тому
.
інтегральна функція дорівнює
Рис.3. Графік інтегральної функції розподілу дискретної випадкової величини
