Другие виды средних показателей

- хронологическая средняя - антигармоническая средняя

- средняя ошибка выборки

- и др.

Степенные средние величины получили свое название по виду функции, используемой для их расчета.

Если значения признаков в статистической совокупности не повторяются, степенную среднюю величину вычисляют в простой форме - это простая степенная средняя, при повторяющихся значениях – во взвешенной форме. Количество повторяющихся значений одного и того же признака (Х _i) называется его весом (f ).

Простая степенная средняя величина рассчитывается по формуле

^пр степ. = () , (3.8)

 

где k – показатель степени средней величины.

При k = - 1 по данной формуле рассчитывают гармоническую среднюю величину ( гарм.).

Если k 0, на основе теории пределов по данной формуле определяют геометрическую среднюю величину ( геом.).

Далее при k = 1 находят арифметическую среднюю, при k = 2 - квадратическую, при k = 3 - кубическую, при k = 4 - биквадратическую и т.д.

Если одно и то же значение признака встречается несколько раз, рассчитывают взвешенную среднюю величину:

 

^взв степ. = { (∑ x^к f ) / ∑ f } , (3.9)

где f - это вес (частота значений признака x ).

Гармоническая средняя применяется если:

1) осредняемый признак является мерой времени и выражен в секундах и минутах.

2) осредняемая величина задана в виде функции неявного вида.

3) осредняемые значения признака имеют общий показатель (например, один и тот же путь, пройденный автомобилями с разной скоростью является общим показателем при расчете средней скорости автомобиля)

= , (3.10)

где n – количество единиц в совокупности.

 

= , (3.11)

где М = x f ,

Геометрическая средняя применяется при нахождении средних темпов или коэффициентов роста, т. к. она показывает восколько раз в среднем одна величина в упорядоченной совокупности больше (или меньше) другой.

= , (3.12)

где n – число сомножителей (осредняемых значений признака).

= (3.13)

Арифметическая средняя определяется по формулам:

(3.14)

(3.15)

Квадратическая средняя используется в тех случаях, когда осредняемая величина x_i задана в виде квадратической функции.

(3.16)

(3.17)

Кубическая средняя применяется, если осредняемая величина задана в виде кубической функции.

(3.18)

(3.19)

Биквадратическая средняя рассчитывается как степенная средняя четвертого порядка и применяется при осреднении признака, являющегося функцией четвертого порядка.

 

3.5 Средние показатели структуры

 

Мода (Мо) — это наиболее часто встречающееся значение признака в статистической совокупности или значение варианты с наибольшей частотой. В дискретных и интервальных рядах моду рассчитывают по разному.

В дискретных вариационных рядах мода – это признак, которому соответствует наибольшая частота.

В зависимости от того, равны интервалы между собой или нет, применяют тот или иной подход к определению моды. Для определения моды в интервальных вариационных рядах с равными интервалами сначала по наибольшей частоте находят модальный интервал, затем рассчитывают моду по формуле:

 

, (3.20)

 

где – начало модального интервала,

– длина модального интервала,

– частоты интервалов, стоящих перед модальным, модального и после модального.

Для получения более полной характеристики вариационного ряда помимо средней величины и моды рассчитываются так называемые структурные показатели. К ним относятся медиана, квартили, децили и перцентили.

Медианой (Me) является значение варианты, находящейся в центре упорядоченных по возрастанию/убыванию значений признака совокупности. Медиана делит вариационный ряд на две равные части. При этом 50% единиц совокупности имеют значение меньше медианного, а 50% - больше медианного.

В дискретном ряду распределения медиана находится по номеру. Номер медианы находится по формуле:

 

, (3.21)

где n – число единиц в совокупности.

При четном количестве единиц в совокупности медиана получается путем расчета средней арифметической из двух рядом стоящих значений признаков.

В интервальном ряду распределения медиана рассчитывается по формуле:

, (3.22)

где - начало медианного интервала,

– длина медианного интервала,

–накопленная частота до интервала, в котором находится медиана,

– частота медианного интервала.

Медиана имеет свойство, благодаря которому используется в экономических и коммерческих расчетах:

 

(3.23)

 

В нормальных рядах распределения мода и медиана совпадают со средним арифметическим значением.

Квартили, квинтили, децили иперцентили относятся к группе квантилей.

Квантили — это показатели, которые делят вариационные ряды на равные по численности единиц части. Квартили делят упорядоченный вариационный ряд на четыре равные части: первый квартиль является значением, которого не превышают 25% единиц совокупности, второй квартиль - 50% (он совпадает с медианой), третий— 75%.

Квинтили делят упорядоченный вариационный ряд на пять равных частей, децили - на десять равных частей. Пятый децильсовпадает с медианой и вторым квартилем.

Перцентили делят упорядоченный вариационный ряд на сто равных частей.