Пример построения линий влияния в ферме

На примере фермы, изображенной на рис. 28, рассмотрена методика построения линий влияния продольных усилий в стержнях любой фермы с простой решеткой, балочной, консольно-балочной и консольной.

Показано практическое применение общего правила построения линий влияния продольных усилий и приведенных выше общих соображений (см. п.п. 1.4, 3.1 и 3.2).

Стержни фермы разделены на виды, обладающие общим характерным признаком. Для каждого вида указаны рекомендуемое рассечение фермы, количество отдельных участков линии влияния, рекомендуемое уравнение равновесия отсеченной части фермы, некоторые общие особенности линии влияния.

При решении примера принято движение единичного груза по нижнему поясу фермы (понизу) и дается заключение о характере линий влияния, если он будет двигаться по верхнему поясу фермы (поверху).

Для всех линий влияния примем следующую систему координат: начало координат на левом конце фермы в точке «0», ось абсцисс «x» направим вправо, ось ординат N(у) – вверх.

При такой системе координат опорные реакции R₀ и R_n от перемещающегося по ферме единичного груза, направленого вниз, при произвольном его положении будут: ; .

При составлении уравнений равновесия отсеченной части фермы усилиям в перерезанных стержнях и опорным реакциям должны быть заданы положительные направления.

Линии влияния для всех стержней левой половины фермы изображены на рис. 28.

 

Линии влияния продольных усилий для стержней поясов, параллельных оси «х»

Такими стержнями являются 0-1, 1-3, 3-5, 5-7, 7-9, 6-8 и симметричные им стержни в правой половине фермы.

Рассмотрим стержень 3-5 (рис. 28). Пусть единичный груз движется понизу. Для этого стержня следует воспользоваться сквозным сечением II. Моментная точка есть – это точка 4. Ее вертикальная проекция находится в узле 3 разрезанной панели нижнего пояса, по которому перемещается единичный груз. В этом случае, как указано в п. 3.2, линия влияния имеет два участка – слева от вертикальной проекции моментной точки, т.е. от узла 3, и справа от этого узла. Поскольку в данном случае моментная точка 4 и узел 3 находятся на одной вертикали, то можно сказать, что участки линии влияния расположены слева и справа от моментной точки.

Составим уравнение линии влияния для этих участков, помещая единичный груз в произвольное положение поочередно слева и справа от моментной точки 4.

Поставим единичный груз слева от моментной точки 4 (на рис. 28 изображен сплошной стрелкой).

Теперь можно определить усилие при этом положении единичного груза. Для этого мысленно разрежем ферму сечением II и отбросим левую часть фермы (целесообразно всегда отбрасывать ту часть фермы, на которую действует больше сил: к левой части приложены единичный груз и опорная реакция , к правой же части – только опорная реакция ).

Примечание: при рассмотрении стержней, расположенных на консолях (консольно-балочная и консольная фермы), при любом положении единичного груза всегда целесообразно отбрасывать ту часть фермы, на которой расположены ее опоры.

Для оставшейся правой части (рис. 29 б) составим уравнение равновесия.

Наиболее целесообразным будет уравнение равновесия:

,

Отсюда .

Это уравнение л.в. N_3-5 для участка слева от моментной точки 4 справедливо при 0 £ x £ a ₄.

Определим ее ординаты на краях участка:

при x = 0 N_3-5 = 0;

при x = a ₄ .

Соединив эти точки прямой, получим левый участок л.в. .

Поставим единичный груз справа от моментной точки 4 (на рис. 28 он изображен пунктирной стрелкой).

Мысленно рассечем ферму сечением II и отбросим правую часть. Для оставшейся левой части (рис. 29 а) составим уравнение равновесия:

.

Отсюда .

Это уравнение л.в. N_3-5 для участка справа от моментной точки 4 справедливо при a ₄ £ x £ l.

Определим ее ординаты на краях участка:

при x = a ₄ ;

при x = l N_3-5 = 0.

Соединив эти точки прямой, получим правый участок л.в. .

Рис. 28

При движении единичного груза поверху следует также пользоваться сквозным сечением II, моментная точка будет та же самая – точка 4. Она находится в узле разрезанной панели верхнего пояса, по которому перемещается единичный груз. Участков линии влияния будет тоже два – слева и справа от моментной точки 4. Это будут те же участки, что и при движении единичного груза понизу. Следовательно, линия влияния остается той же самой.

Следует отметить, что линии влияния при движении единичного груза понизу и поверху в данном случае получились одинаковыми потому, что моментная точка и ее вертикальная проекция находятся в узлах разрезанных панелей поясов, по которым перемещается единичный груз. Это возможно только при наличии между панелями поясов вертикальных стержней (стоек), как это имеет место в рассматриваемой ферме.

Аналогично строятся линии влияния для всех остальных указанных выше стержней этого вида.

Особо следует оговориться о стержне 0-1. Целесообразное для него сквозное сечение I пересекает только два стержня. Если добавить два фиктивных стержня 0-0' и 0'-2, то сечение I пересекает три стержня и для стержня 0-1 можно будет воспользоваться приведенной выше методикой. При этом для него точка 2 будет моментной точкой.

Линии влияния продольных усилий для стержней поясов, непараллельных оси «х»

Такими стержнями являются стержни 0-2, 2-4, 4-6, 8-10 и симметричные им стержни в правой половине фермы (см. рис. 28).

Рассмотрим стержень 4-6. Пусть единичный груз движется понизу. Для этого стержня следует воспользоваться сквозным сечением II. Отсеченные части фермы изображены на рис. 29. Моментная точка есть – это точка 5. Она находится в узле разрезанной панели нижнего пояса, по которому перемещается единичный груз. Следовательно, линия влияния будет иметь два участка – слева и справа от моментной точки 5.

Применяя тот же порядок решения, что и для стержня 3-5, получим уравнение равновесия для левого и правого участков л.в. :

для правого участка .

Отсюда при 0 £ x £ a ₅;

при x = 0 N_4-6 = 0,

при x = a ₅ ;

для левого участка ,

отсюда при a ₅ £ x £ l;

при x = a ₅ ,

при x = l =0.

а) б)

Рис. 29

 

При движении единичного груза поверху линия влияния N_4-6 будет той же самой (по тем же соображениям), что и для стержня 3-5, рассмотренного ранее.

Аналогично строятся линии влияния для всех остальных указанных стержней этого вида, кроме стержня 0-2. Целесообразное для него сквозное сечение пересекает только два стержня. Моментной точки в узлах разрезанной панели пояса не будет даже при введении фиктивных стержней 0-0' и 0'-2. Линию влияния для стержня 0-2 следует строить либо из рассмотренной ниже методики для раскосов при наличии фиктивных стержней 0-0' и 0'-2, либо по методике при вырезании узла (см. п. 3.2.2).

Для линии влияния усилия в любом стержне поясов фермы с вертикальными стойками характерным является то, что она изображается отрезками двух прямых линий, пересекающихся под моментной точкой данного стержня, и не изменяется при движении единичного груза как понизу, так и поверху. Ординаты этих линий влияния под опорами фермы равны нулю. Полезно также запомнить величину ординаты линии влияния под моментной точкой (значение этой величины в том виде, как оно записано при решении рассмотренного примера, справедливо для стержней, расположенных между опорами двухопорной фермы).

О характере линий влияния для стержней поясов фермы с треугольной решеткой без вертикальных стержней (стоек) см. в п. 3.4.