Использование линий влияния для определения усилий в заданном сечении от системы сосредоточенных и распределенных неподвижных нагрузок

Пусть на сооружение действует нагрузка, состоящая из нескольких параллельных сосредоточенных сил Р₁, Р₂, Р_n и распределенной нагрузки с интенсивностью q.

Требуется определить влияние этой нагрузки на некоторую величину Z (это может быть изгибающий момент М, поперечная сила Q или продольное усилие N), для которой линия влияния известна (рис. 16 б).

Рис. 16

 

Ординаты линии влияния у₁, у₂, у_n выражают величину усилия в исследуемом сечении от единичного груза, стоящего над соответствующей ординатой.

Если над данной ординатой у₁ стоит не единичный груз, а груз Р₁, то усилие в исследуемом сечении от груза Р₁ будет у₁Р₁, от груза Р₂ – у₂Р₂, от груза Р_n – у_nР_n. Подобные рассуждения справедливы для любого количества сосредоточенных сил.

Распределенную нагрузку можно представить как совокупность элементарных сосредоточенных сил qdx. Каждая элементарная сила вызывает в исследуемом сечении усилие у_хqdx. Для равномерно распределенной нагрузки q = const, а для треугольной распределенной нагрузки интенсивность ее зависит от x.

Общее усилие в исследуемом сечении от любой системы нагрузок равно сумме усилий от отдельных сосредоточенных сил и распределенных нагрузок, т.е.

, (7)

где .

 

Учитывая, что q = const, а ,

,

где w – площадь, ограниченная линией влияния и расположенная под нагрузкой (на рис. 16 б заштрихована).

В большинстве случаев можно пользоваться формулой с двумя первыми членами, так как в практике редко встречаются нагрузки, распределенные по сложному закону:

, (8)

где n и m – количество сосредоточенных сил и распределенных нагрузок.

Примечания:

- если направление нагрузки совпадает с направлением единичного груза, от которого построена линия влияния, то соответствующее слагаемое записывается в формулу (8) со знаком «плюс». Если эти направления противоположны друг другу, то соответствующее слагаемое записывается со знаком «минус»;

- ординаты линии влияния у_i записываются со своими знаками;

- если площадь w состоит из разных участков с разными знаками, то под величиной w понимается алгебраическая сумма площадей этих участков;

- формула (8) применяется только в тех случаях, когда расчетная схема конструкции допускает применение принципа независимости действия сил (на основании принципа независимости сил влияние всей совокупности сил будет равно: ).

Пример 1. Определить с помощью линий влияния изгибающий момент посредине пролета балки от системы нагрузок (рис. 17).

Рис. 17

 

Решение. Строим линию влияния М_{а =2} для сечения посредине пролета. Под левой опорой откладываем a = 2 м. Ординаты под сосредоточенными грузами определяем из подобия треугольников: у₁ = -0,5 м; у₂ = -1,0 м; у₃ = 0,5 м. Находим площади:

; .

Общее усилие .

Изгибающий момент

тс×м.

 

Пример 2. У балки, изображенной на рис. 18, найти поперечную силу в сечении a = 1 м с помощью линии влияния.

Решение. Строим линию влияния поперечной силы Q_а=1 для сечения a = 1 м (рис. 18). Определяем величины ординат: ; ; .

Находим площади ; .

Рис. 18

 

Поперечная сила

тс×м.