Пример построения линий влияния для балки

Требуется разработать конструкцию сварной балки пролетом l = 24 м со свободно опертыми концами. Балка нагружена равномерной нагрузкой от собственного веса q = 2 кН/м и двумя сосредоточенными грузами Т = 40 кН (вес тележки с грузом), могущими передвигаться по балке. Расстояние между осями тележки
d=2 м; материал – сталь Ст3; допускаемое напряжение [s]_Р = 16 кН/см² (рис. 12 а).

Расчет балки начнем с определения опорных реакций. Для определения опорных реакций используем уравнения равновесия балки (рис. 14 б):

; .

Отсюда ; .

При x = 0 R₀ = 1; R_N = 0. При x = l R₀ = 0; R_N = 1.

Затем построим линии влияния опорных реакций и изгибающих моментов с тем, чтобы знать их максимально возможные значения в разных сечениях балки (рис. 14 в).

Для построения линий влияния изгибающих моментов и поперечных сил разбиваем балку на участки длиной, равной 0,1 l, затем мысленно разрезаем ее на две части по рассматриваемым сечениям и составляем уравнения равновесия каждой части.

Уравнение равновесия левой части балки.

, уравнение справедливо на участке 0,1 l £ x £ l.

Тогда .

При ; при x = l М_А = 0.

Уравнение равновесия правой части балки.

, уравнение справедливо на участке 0 £ x £ 0,1 l;

Тогда .

При x = 0 М_А = 0; при x = 0,1 l .

Строим линию влияния М_А (рис. 14 в).

 

QK S

MS кНм

 

Рис. 14

Линии влияния изгибающих моментов в сечениях В, С, Д и К строятся аналогично. Максимальные ординаты линий влияния для всех сечений указаны на рис. 14 в.

 

Определение изгибающих моментов от подвижной нагрузки (Т)

Величина изгибающего момента вычисляется по формуле:

. (1)

Определим моменты от веса тележки в каждом из сечений 0,1 l, 0,2 l и т.д., с учетом того, что один из сосредоточенных грузов располагается над вершиной линии влияния, а второй занимает положение, указанное на рис.14 в.

кН×м;

кН×м;

кН×м;

кН×м;

кН×м.

Наибольшие значения изгибающих моментов для сечений балки от Т показаны на рис. 14 г.

Определим изгибающие моменты от равномерно распределенной нагрузки.

Момент в сечении х определяется по формуле

. (2)

Тогда

кН×м;

кН×м;

кН×м;

кН×м;

кН×м.

Значение М_q для сечений балки от q показано на рис. 14 д.

Вычислим суммарные величины моментов в сечениях от сосредоточенных сил и равномерной нагрузки (рис. 14 е) по формуле

. (3)

кН×м;

кН×м;

кН×м;

кН×м;

кН×м.

Таким образом, расчетной величиной для балки является

М = 1880 кН×м = 188000 кН×см.

Требуемый момент сопротивления балки для этого усилия

см³.