Качественная теория Эйнштейна

Когда физики научились получать низкие температуры, то один из первых результатов низкотемпературных исследований заключался в обнаружении понижения теплоемкости кристаллов при низких температурах. Причину этого явления объясняет элементарная квантовая теория теплоемкости Эйнштейна.

Суть теории сводится к следующему. Предположим, что собственные частоты осцилляторов, составляющих кристалл, одинаковы и равны w. Согласно квантовой теории спектр возможных значений энергии гармонического осциллятора имеет вид:
En=nÿw, (2)
где n=1, 2, 3,... Вероятность того, что в состоянии теплового равновесия осциллятор находится на уровне под номером n, равна
, (3)
где Z - параметр, определяемый условием нормировки:
. (4)
Его называют статистической суммой. Средняя энергия гармонического осциллятора по определению среднего равна
(5)
Если ввести , то нетрудно увидеть, что
(6)

Присмотримся к определению статсуммы (4). Можно усмотреть, что она представляет собой геометрический ряд без первого члена с основанием
(7)
Как известно, сумма такого геометрического ряда равна
(8)
(здесь (-1) - недостающий первый член). Таким образом, подстановка выражения (8) в (6) дает:
(9)
Внутренняя энергия (средняя энергия всего кристалла), таким образом,
(10)

Рассмотрим асимптотики зависимости U(T). При высоких температурах, таких что kБT>>ÿw,годится приближенное соотношение:
(11)
Подстановка в формулу (10) дает:
U»3N kБT.
Это - уже полученное ранее классическое выражение внутренней энергии. Квантовый результат совпадает с классическим в пределе kБT>>ÿw.

При kБT<<ÿw экспонента в знаменателе в правой части уравнения (10) много больше единицы. Этой единицей можно пренебречь, тогда
- (12)

средняя энергия экспоненциально мала. При понижении температуры она стремится к нулю. Низкотемпературный предел теплоемкости кристалла по теории Эйнштейна имеет вид:
(13)
Математический анализ выражения показывает, что с понижением температуры молярная теплоемкость стремится к нулю (см. рисунок).

Теория Эйнштейна дает только качественное объяснение уменьшения теплоемкости при понижении температуры. Более строгий расчет, учитывающий различие собственных частот мод звуковых колебаний кристалла, провел Дебай. Из теории Дебая следует, что при низких температурах cV~T3. Это согласуется с экспериментом.