Молекулярный механизм закона Гука

Линейная связь между относительной деформацией и напряжением является следствием малости изменения расстояний между молекулами. Так, напряжение, при котором разрушается сталь равно 6×108Па. При таком напряжении, даже если бы не было разрушения, относительная деформация равна 6×108/2×1011=3×10-3 - расстояние между молекулами увеличивается всего на 0,3% от равновесного. При этом потенциальную энергию парного взаимодействия с хорошей точностью можно разложить в ряд по степеням смещений только до квадратичного члена. Это означает, что зависимость силы взаимодействия между двумя молекулами от смещения с достаточной степенью точности линейная.

Макроскопические характеристики, такие как плотность, модуль упругости, можно связать с микроскопическими параметрами взаимодействия. Допустим, потенциал описывается формулой Ленарда-Джонса:
(18)
Разложим зависимость U(r) в ряд по степеням отклонений от положения равновесия. Равновесное расстояние определяется из условия:
(19)

Разложение потенциальной энергии принимает вид:
(20)
Множитель при квадрате смещения является коэффициентом квазиупругой силы:

(21)

Учтем теперь, что формулу для квазиупругой силы
F=-k(r-r0) (22)
в применении к элементарной ячейке можно записать в терминах деформации и напряжения
(23)
где
(24)

Равновесное расстояние между молекулами r0 равно постоянной элементарной ячейки, которую можно выразить через плотность и молярную массу:
(25)
Это позволяет из уравнения (24) выразить параметр b через макроскопические постоянные:
(26)
Подстановка данных о железе, например, дает b=4,57×10-80Дж×м6. Используя уравнение (19), так же можно определить коэффициент a.

Надо, конечно, иметь в виду, что измерение модуля упругости и плотности твердого тела не является косвенным методом измерения параметров межмолекулярного взаимодействия. На самом деле описанная выше процедура является подгонкой параметров модели под экспериментальные данные.

Упруго деформированное твердое тело обладает потенциальной энергией. В изотропном материале плотность упругой энергии равна
(27)
Если деформация изменяется от точки к точке, то плотность упругой энергии зависит от координат. Полная энергия тела равна тройному интегралу от (27) по всему объему тела.

Комбинация температурного расширения и упругой деформации могут создавать разнообразные физические ситуации. В материалах могут возникнуть значительные механические напряжения при неоднородном нагревании или охлаждении. Например, при сильном нагревании какой либо части металлической детали возникающие напряжения могут вызвать зарождение трещин и даже разрыв материала. Это приходится учитывать при проектировании реактивных двигателей, турбин. Комбинация температурного расширения и упругая деформация широко используется в практике. Например, очень прочное соединение вала со шкивом (или шестерней, или колесом) получается, если диаметр отверстия на валу сделать немного меньше диаметра вала. Шкив нагревают настолько, чтобы вал свободно входил в увеличившееся отверстие. После остывания насаженного шкива, он чрезвычайно плотно охватывает вал.