Решение задач. Задача 19. Стальной брусок с квадратным сечением 1´1 см, закрепленный на одном конце, упруго деформировали так

Задача 19. Стальной брусок с квадратным сечением 1´1 см, закрепленный на одном конце, упруго деформировали так, что свободный конец переместился на расстояние 1 см. Полагая, что деформированный брусок согнулся по дуге окружности, определите максимальное и минимальное значения относительной деформации растяжения, если длина бруска 1 м. К концу стального бруска прикрепили груз массой 5 кг. На сколько опустится конец груза?
Указание: при упругом изгибе можно считать, что среднее сечение вдоль бруска не изменяет своей длины.

План решения

а) Выразите распределение относительной деформации бруска по сечению стержня через неизвестное смещение.

б) Используя закон Гука, выразите распределение напряжения по сечению стержня через неизвестное смещение.

в) Выразите вращающий момент, действующий в каждом сечении бруска, через неизвестное смещение.

г) Используя условие равенства нулю суммарного момента силы, действующего на брусок (условие равновесия), найдите искомое смещение свободного конца стержня.

Вопрос 11. На сколько удлинился провод электропередачи под действием собственного веса, если относительное удлинение провода равно e=10-3? Длина провода 100 м.

Задача 20 [ Дик 25.1 ]. Чему равно абсолютное удлинение стального троса длиной 12 м и площадью поперечного сечения 2 см2 при подвешивании к нему груза массой 2 т? Модуль упругости стали 2×1011Па.

Задача 21. На проволоке диаметром 1 мм и длиной 10 см подвешена гантель. Гантель повернули на 90° в плоскости перпендикулярной проволоке.
а) Чему равно максимальное значение сдвиговой деформации в проволоке?
б) Как распределена сдвиговая деформация в проволоке по радиальному направлению?

Задача 22. [ Дик. 25.3 ] К медной проволоке длиной 1,2 м и площадью поперечного сечения 5 мм2 подвесили груз массой 10 кг. Определите работу по растяжению проволоки. Сравните с изменением потенциальной энергии груза в поле тяжести. Модуль упругости меди 1,2×1011Па.

Задача 23. К стальной проволоке длиной 50 см с площадью сечения 2 мм2 подвесили груз массой 20 кг. К этому грузу, в свою очередь, прикрепили еще один такой же кусок проволоки с точно таким же грузом. Модуль упругости стали 2×1011Па.
а) Найдите упругие напряжения в обоих кусках проволоки.
б) Найдите относительные деформации кусков.
в) Чему равны абсолютные удлинения кусков?
г) Постройте график зависимости от координаты смещений точек провода.

Задача 24 [ Дик. 25.8 ]. Для взятия пробы грунта со дна океана используют специальный прибор, опускаемый на стальном тросе. Какова предельная глубина погружения прибора, если предел прочности троса 5×108 Па? Масса прибора по сравнению с массой троса мала. Плотность стали 7,8×103кг/м3, плотность морской воды 1,03×103кг/м3.
Предлагался проект, удешевляющий запуск спутников и любых грузов на стационарную орбиту (спутник находится всегда над одной точкой поверхности). Со стационарного спутника (высота орбиты около 40000 км) спускают стальные тросы до поверхности Земли. По этим тросам курсирует туда и обратно лифт с грузами. Что неосуществимо в этом проекте?

Задача 25 [ Дик 25.2 ]. К алюминиевой проволоке длиной 2 м и площадью поперечного сечения 4 мм2 подвесили груз, под действием которого она удлинилась на 1 мм. Определите силу упругости, возникающую в проволоке. Модуль упругости алюминия 7,1×1011 Па.

Задача 26 [ C3.6.10 ]. Относительное удлинение стержня равно e. Найдите энергию свободной деформации на единицу объема стержня, если модуль Юнга материала стержня равен E.

Задача 27 [ C3.6.8 ]. Колонна Исаакиевского собора имеет высоту 30 м. На сколько она сжата под действием собственной тяжести? Плотность гранита 2,7×103кг/м3,а его модульЮнга 10¹¹ Па.

Задача 28 [ C3.6.11 ]. Какую наименьшую работу нужно совершить, чтобы упруго согнуть в кольцо стержень (длинную стальную линейку), имеющий сечение a ´; b. Модуль упругости материала E, длина стержня L>>a,b. Указание: используйте результаты решения задач 2 и 5.

Задача 31 [ C3.6.2 ]. Проволоку длиной 1 м растянули за концы на 0,1 мм. Как изменится расстояние между соседними атомами, если среднее межатомное расстояние в недеформированном материале равно 10-10м?

Задача 32 [ C 3.6.5 ]. На стальном стержне сечением 1 см2 и длиной 75 см закрепили на расстоянии 25 см друг от друга три груза массой 2 т каждый. Нижний груз находится на конце стержня. Начертите графики относительного удлинения и смещения участков стержня. Модуль Юнга стали 2×1011Па. Каково растяжение всего стержня?

Задача 33 Определите жесткость проволоки длиной 40 см и диаметром 1 мм по отношению к скручиванию концов. [Предполагается, что для поворота зажимов, расположенных на его концах, на угол j относительно друг друга необходимо приложить момент сил M=K×j,где K - искомая жесткость по отношению к кручению]. Модуль сдвига проволоки 5×1010 Па. [Модуль сдвига входит в закон Гука для сдвиговой деформации s=G×e, где - сдвиговое напряжение ( S - площадь приложения сдвиговой силы F ); - деформация сдвига, которая является безразмерной величиной]. Если деформация из меняется от точки к точке, то, подобно деформации сжатия-растяжения, деформация сдвига
определяется как производная от смещения по координате, (однако отмеренной в перпендикулярном смещению направлении).

Задача 34. Рассчитайте упругую энергию цилиндра в условиях задачи 33.