Построение интегральной и дифференциальной функции

При наличии полной информации расчет показателей надежности можно проводить как аналитическим, так и графическим методом на основе дифференциальной или интегральной функции выбранного теоретического закона распределения (ЗНР или ЗРВ). К преимуществам графического метода расчета относится возможность наложения кривых этих функций соответственно на полигон и кривую накопленных опытных вероятностей и на этой основе визуального определения наиболее совпадающего с опытной информацией теоретического закона распределения (ЗНР или ЗРВ),которым и следует пользоваться при дальнейших расчетах показателей надежности.

Известно, что применительно к отказам дифференциальная и интегральная функции характеризуют количество потерявших работоспособность машин или их элементов, или, что практически одно и то же, необходимое количество ремонтных воздействий (устранение эксплуатационных отказов и проведение ремонтов). По дифференциальной функции удобно определять количество отказов и соответственно количество ремонтных воздействий в любом интервале наработок, а по интегральной функции - суммарное их количество от начала наблюдения за машинами до заданной наработке .

При наличии статистического ряда (в случае ЗНР) точки дифференциальной кривой определяют по уравнениям (13) и (14) и по таблице 3 Приложения.

(13)

 

(14)

 

где - средние значение показателя надежности в заданном интервале (или значение середины интервала статистического ряда).

Так, применительно к ресурсам двигателя СМД-14 ( =4050 мото-ч, = 925 мото-ч) координатами точек дифференциальной кривой для первого интервала статистического ряда будут:

абсцисса - значение показателя надежности в середине первого интервала 1750 мото-ч;

ордината - значение дифференциальной функции в первом интервале (уравнения (13) и (14))

По таблице 3 приложения находим Тогда

Следовательно, в интервале наработок от 1500 до 2000 мото-ч выйдет из строя (ресурсный отказ) и потребует ремонта около 1 процента двигателей.

Аналогично для 2-й точки дифференциальной кривой: абсцисса ордината

или для 3 процентов двигателей потребуется ремонт в этом интервале наработок и т.д. Результаты расчеты приведены в таблице 4.

Значения интегральной функции определяют по уравнениям (15) и (16) и данным таблицы 1 Приложения.

(15)

(16)

 

Так, в том же расчете по ресурсам двигателя СМД-14 абсцисса 1-й точки интегральной кривой а ордината

По таблице 1 Приложения Тогда Следовательно, в интервале наработка от 0 до 2000 мото-ч выйдет из строя около 1 процента двигателей.

Аналогично для конца второго интервала статистического ряда координаты 2-й точки интегральной кривой будут: абсцисса ордината

и
ли для 4 процентов двигателей потребуется ремонт к наработке 2500 мото-ч и т.д. по концам всех интервалов статистического ряда. Результаты расчета приведены в таблице 4.

Результаты расчета позволяют заключить, что дифференциальная функция в интервале статистического ряда равна разности интегральных функций в конце и начале этого же интервала:

 

(17)

 

где - значения показателей надежности соответственно в середине, в конце и начале интервала. При законе распределения Вейбулла интегральную функцию определяют по таблице 9 Приложения. Вход в таблицу осуществляется по значению параметра , указанному в верхней строке таблицы, и по величине отношения

 

(18)

 

Определяем число вышедших из строя двигателей СМД-14 в интервале наработок от 0 до 2000 мото-ч в том случае, если для выравнивания опытной информации (табл.3) используется ЗРВ. Для конца первого интервала статистического ряда:

 

 

По таблице 9 Приложения, проведя интерполирование, найдем или для 1 процента двигателей потребуется ремонт в интервале наработок от 0 до 2000 мото-ч.

Аналогично при наработке, соответствующей концу второго интервала статистического ряда (),получим:

 

 

По таблице 9 Приложения (от 0 до 2500 мото-ч)=0,05, или для 5 процентов двигателей потребуется ремонт в интервале наработок от 0 до 2500 мото-ч.

Пользуясь уравнениям (17), определим значение дифференциальной функции или для 4 процентов двигателей потребуется ремонт в интервале наработок от 2000 до 2500 мото-ч.

Результаты расчета интегральных и дифференциальных функций распределения Вейбулла приведены в таблице 4.

По данным таблицы 4 строятся кривые дифференциальной и интегральной функций ЗНР и ЗРВ и накладываются на полигон (рис.1) и кривую накопленных опытных вероятностей (рис.2).

Таблица 4. Сводная таблица опытных и теоретических (ЗНР и ЗРВ) распределений доремонтных ресурсов двигателей

Интервал, тыс. мото-ч	Опытная вероят-ность	Дифференциальная функция		Интегральная функция
ЗНР	ЗРВ	ЗНР	ЗРВ
1,5-2,0 2,0-2,5 2,5-3,0 3,0-3,5 3,5-4,0 4,0-4,5 4,5-5,0 5,0-5,5 5,5-6,0	0,03 0,03 0,03 0,20 0,16 0,26 0,14 0,06 0,09	0,01 0,03 0,08 0,15 0,20 0,20 0,17 0,09 0,04	0,01 0,04 0,10 0,15 0,19 0,20 0,16 0,09 0,04	0,03 0,06 0,09 0,29 0,45 0,71 0,85 0,91 1,00	0,01 0,04 0,13 0,28 0,48 0,68 0,85 0,94 0,98	0,01 0,05 0,15 0,30 0,49 0,69 0,85 0,94 0,98

 

Анализ данных таблицы 4 и графиков (рис.1 и 2) позволяет сделать рекомендации, имеющие практическое значение:

1. Опытная информация отклоняется от теоретической функции и нуждается в выравнивании при помощи теоретического закона распределения.

2. В интервале значений коэффициента вариации от 0,3 до 0,5 функции ЗРВ незначительно отличаются одна от другой, поэтому визуально трудно выбрать закон распределения для выравнивания опытной информации. В таких случаях рекомендуется выбирать теоретический закон распределения по критерию согласия.

 

Рис.1. Гистограмма (1),полигон (2), дифференциальные кривые закона нормального распределения (3) и закона распределения Вейбулла (4).

 

 

Рис.2. Кривая накопленных опытных вероятностей ΣР_i и интегральные кривые закона нормального распределения (ЗНР) и закона распределения Вейбулла (ЗРВ), которые слились в одну кривую.

 

Рис.3. Графический метод построения интегральной функции ЗНР и пример определения количества ресурсных отказов дизельных двигателей в интервале их наработок от 4300 до 4850 мото-ч.