Определение доверительных границ рассеивания одиночны и средних значений показателя надежности и наибольших возможных ошибок переноса

В результате испытания группы машин и обработки собранной при этом информации определяют количественные характеристики показателей надежности (среднее значение , среднее квадратическое отклонение σ, коэффициент вариации и др.).

В дальнейшем значения этих характеристик должны быть перенесены (запланированы) на другие группы машин, работающие в других условиях. Естественно, что изменение количества машин в группе и условий их эксплуатации вызовет изменение количественных характеристик ПН. Хотя эти изменения носят случайный характер, они происходят в определенных границах или в определенном интервале, величина которого зависит от многих факторов, в том числе и от количества машин в группе. Определение границ рассеивания характеристик ПН, следовательно, и определение возможной ошибки их переноса из одних условий в другие является одной из основных задач теории надежности.

Если было проведено наблюдение за машинами и на этой основе определено среднее значение ПН , то, как было показано выше, одиночное значение этого же ПН у конкретной машины может в крайних случаях отличаться от на величину 3σ при ЗНР и на величину от 0,1 до 2,5 при ЗРВ ( - параметр распределения Вейбулла).

Для нормального распределения площадь под дифференциальной кривой, или площадь охвата α, ограниченная протяженностью оси абсцисс 3σ, составляет 0,997, или 99,7%. Следовательно, при таких границах рассеивания в 997 случаях из 1000 значение одиночного ПН будет находиться в интервале значений от -3σ до +3σ.

Таким образом, площадь охвата α равна в долях единицы или в процентах количеству одиночных ПН, числовые значения которых укладываются в границах соответствующего этой площади интервала.

При прочих равных условиях выбранная заранее площадь охвата α характеризует степень доверия расчета и гарантирует вероятность попадания показателя надежности в соответствующий интервал его значений. Поэтому она называется доверительной вероятностью α.

Интервал, в котором при заданной доверительной вероятности α попадают 100 α % от , называют доверительным интервалом .

Границы, в которых может колебаться значение одиночного ПН при заданном α, называют нижней доверительной границей и верхней доверительной границей .

При определении коэффициента (количество σ) пользоваться интегральным законом нормального распределения и соответственно данными таблицы 1 приложения можно только тогда, когда повторность информации N > 100, вследствие чего опытное значение σ будет незначительно отличаться от теоретического. При меньших значениях повторности информации N следует пользоваться законом распределения Стьюдента и коэффициентом , табулированным в таблице 7 приложения.

Рассмотрим уравнения для определения доверительного интервала , доверительных границ и и абсолютной ошибки для одиночного показателя надежности при законе нормального распределения:

(21)

(22)

(23)

(24)

 

Анализ расчетных уравнений (21-24) позволяет заметить, что увеличение доверительной вероятности α или повышение степени доверия расчета вызывает увеличение возможной ошибки расчета и расширение доверительного интервала. При расчете доверительных границ рассеивания ПН (ГОСТ 17510-72) рекомендуется применять следующие значения доверительных вероятностей: α=0,80;0,90;0,95;0,99.

Приведем типичный пример расчета доверительных границ одиночного ПН.

Порядок расчета следующий.

Задаемся доверительной вероятностью: α=0,90.

1. По таблице 7 Приложения находим значения коэффициента для α=0,90 и =69: =1,67.

2. По уравнениям (22) и (23) определяем доверительные границы наработок до постановки двигателей в ремонт:

 

мото-ч;

 

мото-ч.

 

Доверительный интервал находим по уравнению (24):

 

мото-ч.

 

В случае ЗРВ доверительные границы рассеивания одиночного ПН определяют по такой же принципиальной схеме, как и при ЗНР.

Однако вследствие асимметрии дифференциальной функции пользование уравнениями (21)-(24). При относительно больших значениях коэффициента вариации (V =0,6-1,0) можно привести к значительным ошибкам.

Доверительные границы рассеивания одиночного ПН при ЗРВ определяются по уравнениям:

 

(25)

(26)

где - квантиль ЗРВ, значение которого находят по таблице 8 Приложения (вход в таблицу по величине параметра b и величинам или ).

Если принять, что рассеивание доремонтных ресурсов двигателей согласуется с ЗРВ ( =3,34, =3080 мото-ч, =1250 мото-ч), получим:

 

мото-ч,

 

мото-ч.

 

В практике чаще всего приходится встречаться с расчетом доверительных границ среднего значения ПН .

Расчетная схема и физический смысл доверительных границ при заданной доверительной вероятности α для среднего значения ПН те же, что и для одиночного показателя.

Разница в определении величины среднего квадратического отклонения . Связь между и σ установлена в теории вероятностей:

 

(27)

 

По аналогии с расчетными уравнениями (21)-(24) для определения рассеивания среднего значения ПН при ЗНР и заданной доверительной вероятности α будет:

абсолютная ошибка:

, (28)

 

нижняя доверительная граница:

 

, (29)

верхняя доверительная граница:

 

, (30)

 

доверительный интервал:

 

. (31)

 

Порядок расчета следующий.

Доверительная вероятность α=1,67 и коэффициент Стьюдента =1,67 (табл. 7 Приложения):

 

мото-ч;

 

мото-ч;

 

Из теории надежности известно, что сложение нескольких одинаковых или различных теоретических законов распределения приводит в итоге к закону нормального распределения. Поэтому, когда рассеивание одиночных ПН подчинено ЗРВ, рассеивание средних значений ПН в таких случаях согласуется с законом нормального распределения. Следовательно, доверительные границы рассеивания среднего значения при ЗРВ можно определить по уравнениям (29) и (30).