Понятие экстремума. Необходимое условие экстремума. Достаточное понятие экстремума
Необходимое условие экстремума Если дифференцируемая ф-ция y=f(x) имеет экстремум в точке x0, то ее производная в этой точке равна нулю: Док-во Пусть, для определенности, х0 – точка максимума. Зн., в окрестности точки х0 выполняется неравенство Но тогда По условию теоремы производная Переходя к пределу, при Поэтому Для x0 – точка минимума ф-ции f(x) доказывается аналогично. ↓; Достаточное условие экстремума Если непрерывная ф-ция y=f(x) дифференцируема в некоторой δ-окрестности критической точки х0 и при переходе через нее (слева направо) производная Док-во Рассмотрим δ-окрестность точки х0. Пусть выполняются условия: Тогда ф-ция f(x) возрастает на интервале Отсюда следует, что значение f(x) в точке Аналогично эта теорема доказывается для случая, когда
|
.
и 
.
существует.
получаем 
, если 
и 
, если 
.
.
меняет знак с плюса на минус, то х0 – точка максимума; с минуса на плюс, то х0 – точка минимума.
.
, а на интервале 
она убывает.
является наибольшим на интервале 
что и означает что x0 – точка максимума ф-ции.
и 
. ↓;
