Определение дифференциала, его свойства

Пусть ф-ция y=f(x) дифференцируема в точке х, т.е. ∃ предел . Тогда, , (*) обозначим через dx новое независимое переменное.

Опр. Ф-ция , линейная относительно переменной dx, call дифференциалом (или первым дифференциалом) ф-ции f(x) в точке х и обозначается через dy или df. Иногда удобно писать dy(x) или df(x). Итак, dy=df= (**)

Свойства дифференциала

Из формулы (**) следует, что , поэтому производную часто обозначают или .

Если положить, что dx= , то формулу (*) можно переписать так: , таким образом, разность есть бесконечно малая более высокого порядка малости, чем dx т.е. дифференциал представляет собой главную линейную часть приращения ф-ции.

Т.к. при , то при малых ∆х имеет место приближенное равенство или , таким образом получена формула для приближенного вычисления ф-ции f(x) при значений х, близких к .

Свойство инвариантности формы первого дифференциала.

Рассмотрим сложную ф-цию , для которой выполнены все условия теоремы (о дифференцировании сложной ф-ции). Тогда, с одной стороны (*), где t – это независимое переменное, с другой стороны, в силу теоремы (о дифференцировании сложной ф-ции) или (**), где t=f(x). Т.О., дифференциал ф-ции φ(t) имеет один и тот же вид (*) иди (**) вне зависимости от того, является ли t независимым переменным или ф-цией какого-либо другого переменного. Это свойство call свойством инвариантности формы первого дифференциала.