Непрерывность тригонометрических ф-ций
Предварительно установим следующие неравенства:
Рассмотрим тригонометрический круг единичного радиуса, где |BC|=|sin(x)|,|DA|=|tg(x)|,<AOB=x. Из геометрических соображений ясно, что при 0<|x|< Непрерывность ф-ции y=sin(x) на всей числовой прямой. В самом деле, так как sin(x)-sin(x0)=2sin Для произвольно заданного ε>0 выберем δ=ε, тогда из последнего неравенства следует, что |sin(x)-sin(x0)|<ε при условии что |x-x0|<δ. Следовательно ф-ция y=sin(x) непрерывна при всех х. Непрерывность ф-ции y=cos (x) на всей числовой прямой. Аналогично из равенства cos(x)-cos(x0)= -2sin Непрерывность ф-ий y=tg(x);y=ctg(x) следует из того что эти ф-ции представляют собой отношения двух непрерывных ф-ций. А по теореме (Пусть f(x) и g(x) – ф-ции с общей областью определения Х, непрерывные в точке х0. Тогда в этой токе непрерывны следующие ф-ции: f(x)±g(x),: f(x)g(x),: f(x)/g(x) (в последнем случае предполагается, что g(x) ≠0 при х∈Х) 0 это отношение является непрерывным в точках, в которых отличны от нуля ф-ции aos(x) и sin(x) соответственно.
|
0<|sin(x)|<|x|<|tg(x)| при 0<|x|< 
(*)
|BC||AC|< 
cos 
, то в силу неравенств (*) (при |x-x0|< 
