Непрерывные ф-ции. Простейшие свойства непрерывных ф-ций

Пусть f(x) – числовая ф-ция, определенная на подмножестве Х множества R.

Опр. Если x₀-предельная точка множества Х, x₀∈X и s w:ascii="Cambria Math" w:h-ansi="Cambria Math"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:lang w:val="EN-US"/></w:rPr><m:t>x</m:t></m:r></m:e></m:d></m:e></m:func></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> =f(x₀), то ф-ция f(x) называется непрерывной в точке x₀.

f(x)-непрерывная в точке x₀∈X ↔ ∀ε>0 ∃ δ=δ_ε:∀x∈X удовлетворяющих условию |x-x₀|<δ_ε выполняется неравенство |f(x)-f(x₀)|<ε.

 

Опр. Ф-ция f(x) называется непрерывной на множестве Х, если она непрерывна в каждой точке х∈Х.

Опр. Точка х₀∈Х, в которой ф-ция f(x) непрерывна, называется точкой непрерывности ф-ции f(x). Точка х₀∈Х, не являющаяся точкой непрерывности ф-ции f(x), называется точкой разрыва ф-ции f(x).

 

Теорема.

Пусть f(x) и g(x) – ф-ции с общей областью определения Х, непрерывные в точке х₀. Тогда в этой токе непрерывны следующие ф-ции: f(x)±g(x),: f(x)g(x),: f(x)/g(x) (в последнем случае предполагается, что g(x) ≠0 при х∈Х).

Док-во следует из определения непрерывной ф-ции и теоремы об арифметике пределов ф-ции.

 

Теорема (о локальной ограниченности непрерывной ф-ции)

Пусть ф-ция f(x) определена в окрестности точки х₀ и непрерывна в точке х₀, тогда ∃ окрестность |x-x₀|<𝛿 этой точки, в которой ф-ция f(x) ограничена.

Док-во

В силу определения непрерывности ф-ции f(x) в точке х₀ ∀ε>0 ∃δ=δ_ε >0: |f(x)-f(x₀)|<ε при |x-x₀|<δ_ε.

Фиксируя произвольное ε>0, получим что f(x₀)- ε<f(x)<f(x₀)+ε при |x-x₀|<δ

Т.е. ф-ция f(x) ограничена в окрестности |x-x₀|<δ. ↓;

 

Теорема (о непрерывности сложной ф-ции)

Пусть ф-ция f(x) непрерывна в точке x₀, а ф-ция φ(t) непрерывна в точке t₀=f(x₀). Тогда сложная ф-ция y= φ(f(x)) непрерывна в точке х₀.