Теорема о разрывах монотонной ф-ции
Теорема Пусть ф-ция f(x) монотонна на открытом промежутке Р. Тогда в каждой точке x0∈P ∃односторонние пределы Док-во Для определенности будем считать, что ф-ция f(x) не убывает на промежутке Р. Тогда мн-во значений ф-ции f(x) при x<x0 (x∈P) ограничено сверху (т.к. f(x)≪f(x0))и потому имеет точную верхнюю грань М. Очевидно, что М≪f(x0) Покажем, что В самом деле, согласно определению точной верхней грани для заданного ε>0 ∃δ>0: M-ε<f(x0 –δ)≤M Отсюда следует, что M-ε<f(x)≤M при x0 –δ<x<x0 Следовательно, Аналогично доказывается, что
Следствие из теоремы Каждая точка x0∈Р является либо точкой непрерывности монотонной ф-ции F(x), либо точкой разрыва 1ого рода, т.е. монотонная ф-ция не может иметь точек разрыва 2ого рода.
Док-во В силу неравенств (*), если f(x0+0)=f(x0-0), то x0 – точка непрерывности ф-ции f(x) Если f(x0+0)=f(x0-0), то x0 – точка разрыва 1ого рода. ↓;
|
, 
, причем f(x0 - 0)≤f(x0)≤f(x0 +0) (f(x0 - 0)≫f(x0)≫f(x0 +0)) (*), если ф-ция f(x) не убывает (не возрастает).
=M≤f(x0)
≫ f(x0). ↓;
