Теорема о переходе к пределу в неравенстве

Если для двух переменных x_n, y_n всегда выполняется неравенство x_n ≥ y_n, причем каждая их них имеет конечный предел: limx_n=a, limy_n=b, то и a≥b.

Допустим противное: пусть a<b. Возьмем число r между a и b, так что a<r<b. Тогда, содной стороны, найдется такой номер N′, что для n>N′ будет x_n<r, с другой же – найдется и такой номер N″, что для

n> N″ окажется y_n>r. Если N больше обоих чисел N′, N″, то для номеров n>N будут одновременно выполнятся оба неравенства x_n<r, y_n>r, откуда x_n<y_n, что противоречит предположению. Теорема доказана

Теорема. I Если при х→А функция f(x) имеет конечный положительный (отрицательный) предел, то и сама функция положительна (отрицательна), по крайней мере для значений х, достаточно близких к А, но отличных от А.

II. пусть функция на множестве X, непрерывна в точке а этого множества и ее значение положительно (отрицательно). Тогда существует такое положительное число δ, что функция является положительной (отрицательной) всюду на множестве , представляющем собой пересечение множества X с δ-окрестностью точки a.

Док-во: в силу определения непрерывности по Коши для любого положительного числа найдется отвечающееему положительное число δ такое, что для всех значений аргумента x из δ-окрестности точки a справедливо равенство или . Если взять в качестве ℇ положительное число , то оба числа и будут положительны при и отрицательны при . Поэтому неравенства будут означать, что для всех значений аргумента из δ-окрестности точки a функция является положительной при и . Теорема доказана!