Теорема о переходе к пределу в неравенстве
Если для двух переменных xn, yn всегда выполняется неравенство xn ≥ yn, причем каждая их них имеет конечный предел: limxn=a, limyn=b, то и a≥b. Допустим противное: пусть a<b. Возьмем число r между a и b, так что a<r<b. Тогда, содной стороны, найдется такой номер N′, что для n>N′ будет xn<r, с другой же – найдется и такой номер N″, что для n> N″ окажется yn>r. Если N больше обоих чисел N′, N″, то для номеров n>N будут одновременно выполнятся оба неравенства xn<r, yn>r, откуда xn<yn, что противоречит предположению. Теорема доказана Теорема. I Если при х→А функция f(x) имеет конечный положительный (отрицательный) предел, то и сама функция положительна (отрицательна), по крайней мере для значений х, достаточно близких к А, но отличных от А. II. пусть функция Док-во: в силу определения непрерывности по Коши для любого положительного числа
|
на множестве X, непрерывна в точке а этого множества и ее значение положительно (отрицательно). Тогда существует такое положительное число δ, что функция 
является положительной (отрицательной) всюду на множестве 
, представляющем собой пересечение множества X с δ-окрестностью точки a.
найдется отвечающееему положительное число δ такое, что для всех значений аргумента x из δ-окрестности точки a справедливо равенство 
или 
. Если взять в качестве ℇ положительное число 
, то оба числа 
и 
будут положительны при 
и отрицательны при 
. Поэтому неравенства будут означать, что для всех значений аргумента из δ-окрестности точки a функция 
