Арифметика пределов ф-ции

Пусть f(x) и g(x) – ф-ции с общей областью определения Х, и пусть ∃ пределы и . Тогда ∃ пределы (при х→а) ф-ций f(x)±g(x), f(x)g(x), f(x)/g(x), в последнем случае полагается что g(x)≠0 при х∈Х и с≠0. При этом имеют место равенства:

Док-во.

Пусть {x_n}⊂X (x_n≠a) – произвольная последовательность, сходящаяся к а.

В силу определения предела ф-ции по Гейне соответствующие последовательности {f(x_n);g(x_n)}сходятся соответственно к b и c.

В силу теоремы (об арифметике пределов последовательностей) последовательности {f(x_n)±g(x_n)}, {f(x_n)g(x_n)}, {f(x_n)/g(x_n)} сходятся соответственно к числам b±c,bc,b/c.

Эти числа в силу определения предела ф-ции по Гейне являются пределами ф-ций f(x)±g(x), f(x)g(x), f(x)/g(x) при х→а. ↓;

№26 Предел слева, предел справа, их равенство.

Пусть ф-ция y=f(x) определена при x₀<x<a (a<x<x₀).

Опр. Число b называется правым (левым) пределом ф-ции f(x) при х→х₀, если ∀ε>0 ∃δ=δ_ε>0: ∀x∈(x₀,а) (х∈(а,х₀)), удовлетворяющих условиям 0<x-x₀< δ_ε (0<x₀-x< δ_ε ) выполнено неравенство |f(x)-b|<ε.

 

Теорема Ф-ция f(x), определенная на открытом промежутке Р. Имеет предел (x₀∈P) ↔ когда ∃ правый и левый пределы и они равны.

Док-во

Если ф-ция f(x) имеет предел , то согласно определению это b будет как правым, так и левым пределом ф-ции f(x) при x→x₀.

Пусть теперь ∃ равные друг другу правый и левый пределы, общее значение которых обозначим как b.

Согласно определению правого и левого пределов по заданному ε>0 найдутся такие δ₁>0 и δ₂>0, что при 0<x-x₀< δ₁ или 0<x₀-х< δ₁ выполняется неравенство |f(x)-b|<ε.

Выбирая δ=min{ δ₁, δ₂}, получим что при 0<|x-x₀|<δ имеет место равенство |f(x)-b|<ε. Это означает, что ↓;

 

№27 ББФ. Пределы ф-ций при х→∞;

Определение. =∞

Определение. =A

Определение. =∞

Определение. =A

Определение. =A