Теоремы об арифметике пределов последовательностей

Теорема. Если {x_n},{y_n} имеют конечные пределы: lim x_n=a, lim y_n=b, то и сумма (разность) их так же имеет конечный предел, причем lim(x_n+ y_n)=a+b.

Док-во.

Из условия теоремы следует что x_n=a+α_n, y_n=b+β_n, где α_n, β_n - б.м.

Тогда x_{n ±}y_n = (a±b)+(α_n±β_n), где по лемме о бесконечно малых (α_n±β_n)-б.м., поэтому можно утверждать что величина (x_{n ±}y_n) имеет предел, равный a±b↓

 

Теорема. Если {x_n},{y_n} имеют конечные пределы: lim x_n=a, lim y_n=b, то и произведение их также имеет конечный предел, причем lim(x_ny_n)=ab

Док-во

Т.к. x_n=a+α_n, y_n=b+β_n, то x_ny_n=ab + (a β_n + α_nb+ α_n β_n), где последняя скобка в силу леммы о б.м. является величиной б.м. => x_ny_n→ab.

 

Теорема. Если {x_n},{y_n} имеют конечные пределы: lim x_n=a, lim y_n=b, причем b≠0, то и их частное также имеет конечный предел.

Док-во.

Пусть b>0, между 0 и b найдется число r (в силу Т. О плотности Q и I чисел: между двумя вещественными числами можно вставить как рациональное, так и иррациональное число)

Тогда, начиная с некоторого номера N, y_n>r>0, так что во всяком случае y_n≠0.

Ограничимся теми значениями n, для которых вышесказанное выполняется, тогда отношение x_n/y_n заведомо имеет смыл.

Т.к. x_n=a+α_n, y_n=b+β_n, то x_n/ y_n – a/b= – a/b= *(b α_n - a β_n), где последняя скобка есть б.м. по лемме о бесконечно малых.

Множитель - величина ограниченная: 0< <

Поэтому, по лемме о бесконечно малых все произведение в правой части уравнения будет б.м.

А т.к. оно представляет разность м/у x_n/ y_n и числом a/b, поэтому lim (x_n/ y_n)=a/b ↓.

 

 

№17 Ограниченные последовательности. Теорема о сходимости монотонной ограниченной последовательности.

Монотонная ограниченная последовательность сходиться.

Док-во.

Предположим, что последовательность {x_n}не убывает, т.е. x_n+1≫x_n (n=1,2,….) (в случае невозрастающей последовательности рассмотрим последовательность {-x_n}, которая очевидно неубывает).

По условию теоремы последовательность {x_n} ограничена.

Значит множество А ее значений ограничено.

В силу теоремы о существовании supA, infA(Пусть А – непустое подмножество множества R. Тогда, если А ограничено сверху, то ∃ точная верхняя грань, если А ограничена снизу, то ∃ точная нижняя грань множества А) ∃ точная верхняя грань множества А.

Пусть supA=x

Поскольку х – точная верхняя грань множества А, то x_n≪x при всех n= 1,2,….., и какого бы ни было ε>0 ∃ х_N∈A: x-ε< х_N≤x.

В силу монотонности последовательности {x_n}: х-ε<x_n x при n>N

Следовательно, последовательность {x_n} сходиться и =x ↓.

 

№18 Теорема о выборе сходящейся подпоследовательности из ограниченной последовательности (Теорема Больцана-Вейерштрасса)

Из всякой ограниченной последовательности можно выбрать сходящуюся подпоследовательность.

Док-во.

по условию имеем, что найдется с>0 такое, что для всех n/ Разделим отрезок I₀=[-c,c] пополам. Один из получившихся отрезков содержит бесконечное число последовательности. Назовем его I₁ и в качестве 1-ого члена в искомой подпоследовательности возьмем какой-либо элемент , т.е. положим . Затем отрезок I₁ снова разобьем на два и обозначим через I₂ ту его половину, которая содержит бесконечно много членов последовательности . Среди них выберем такой член , номер которого n₂ превосходит число n_1, и положим . Повторяя описанную процедуру применительно к отрезку I₂, получим отрезок и член с условием n₃>n₂. Далее таким же образом найдем , и т.д. В результате мы получим числовую последовательность и последовательность вложенных отрезков , причем при всех . Другими словами, будет подпоследовательностью для .

Теперь докажем, что сходится. Для этого заметим, что длина отрезка равна , откуда при . Это значит, что последовательность вложенных отрезков стягивается и все отрезки имеют единственную общую точку . Именно это число и будет пределом для . Действительно, если то . Но так как при , то и , откуда . И так как , то при , что и требовалось доказать. ↓;