Хn } не может одновременно стремиться к двум конечным пределам
Док-во (от противного). Способ 1 Пусть одновременно хn→a и хn→b, причем a<b (для определенности) Выберем r: a<r<b (это можно сделать в силу Т. О плотности Q и I чисел: между двумя вещественными числами можно вставить как рациональное, так и иррациональное число) Т.к. хn→a и a<r, то ∃N1: для n>N1 будет выполняться неравенство хn<r Т.к. хn→b и r<b, то ∃N2: для n>N2 будет выполняться неравенство хn>r Возьмем n=max(N1; N2), тогда хn будет одновременно и больше и меньше r, что невозможно. Зн.,наше предположение не верно и следовательно { хn }имеет один предел. Способ 2 Пусть Запишем определение предела по Коши для a и b: а=  ↔∀ 𝜀>0 ∃ N2𝜀:для n> N2𝜀 =>| yn –b|<𝜀;
Выберем n>max(N1𝜀; N2𝜀) Тогда /b-a/<2ε Предположим что /b-a/>0. Пусть ε= Получили противоречие. Теорема об ограниченности сходящейся последовательности
|
, тогда /b-a/<2ε= 
