Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа. Возрастание и убывание ф-ций
Теорема Ферма. Пусть ф-ция f(x) имеет в точке х0∈Р локальный экстремум и дифференцируема в этой точке, тогда Док-во Пусть, например в точке х0 ф-ция f(x) имеет локальный максимум, тогда при х0<x<x0+ δ имеет место неравенство Из него следует, что Точно так же при Из неравенств (1) и (2) следует, что
Теорема Ролля Пусть ф-ция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], дифференцируема на интервале (a;b) и f(a)=f(b), тогда найдется хотя бы одна точка ξ ∈(a;b): Док-во Согласно теореме Вейерштрасса ф-ция f(x) ограничена на отрезке [a,b]. Пусть Если точка m=M, то f(x)=const и в качестве ξ можно взять любую точку интервала (a;b). Если m≠M, то выполнено по крайней мере одно из неравенств Пусть Следовательно, в точке ξ ф-ия f(x) имеет локальный максимум. В силу теоремы Ферма Случай, когда
Теорема Лагранжа
|
.
(1)
и 
(2)
.
, 
.
, тогда в силу теоремы Вейерштрасса ∃ хотя бы одна точка ξ ∈(a;b): f(ξ) =M (ξ ≠a, ξ ≠b т.к. 
.
рассматривается аналогично. ↓;
