Пусть ф-ция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируема на интервале (a;b), тогда найдется хотя бы одна точка ∈(a;b):
Док-во Рассмотрим ф-цию Очевидно, что g(x) непрерывна на отрезке[a,b], дифференцируема на интервале (a;b) и g(a)=g(b)=0 В силу теоремы Ролля ∃ ξ∈(a;b): Возрастание и убывание ф-ций Пусть ф-ция y=f(x) определена на множестве D и пусть D1⊂D. Если для ∀ значений x1, x2∈D1 аргументов из неравенства x1<x2 вытекает неравенство: f(x1)< f(x2), то ф-ция call возрастающей на множествеD1, если f(x1)≤f(x2), то неубывающей на множестве D1. Если для ∀ значений x1, x2∈D1 аргументов из неравенства x1<x2 вытекает неравенство: f(x1)> f(x2), то ф-ция call убывающей на множествеD1, если f(x1)≥f(x2), то невозрастающей на множестве D1 Следствие из Теоремы Лагранжа Пусть ф-ция f(x) дифференцируема на промежутке Р. Тогда, если
|
т.е. 
. ↓
на промежутке Р, то ф-ция f(x) не убывает (не возрастает). Если же 
на промежутке Р, то f(x) возрастает (убывает).
