Выпуклость вверх, вниз; точки перегиба. Достаточное условие выпуклости для дважды дифференцируемых ф-ций

Ф-ция выпукла вверх в точке x₀, если

 

Выпуклость вверх

График дифференцируемой ф-ции call выпуклым вниз на интервале (a;b), если он расположен выше ∀ ее касательной на этом интервале.

Выпуклость вниз

График дифференцируемой ф-ции call выпуклым вниз интервале (a;b), если он расположен ниже ∀ касательной на этом интервале.

 

Точка графика непрерывной ф-ции , отделяющая его части разной выпуклости, call точкой перегиба.

 

Теорема (о достаточном условии выпуклости для дважды дифференцируемых ф-ций)

 

Если ф-ция во всех точках интервала (a;b) имеет отрицательную вторую производную, т.е., то график ф-ции в этом интервале выпуклый вверх. Если же, ∀x∈(a;b) – график выпуклый вниз.

Док-во

Пусть , ∀x∈(a;b).

Возьмем на графике ф-ции произвольную точку M с абсциссой x₀∈(a;b) и проведем ч/з М касательную (см рис)

Покажем, что график ф-ции расположен ниже этой касательной.

Для этого сравним в точке х∈(a;b) ординату y кривой с ординатой y _кас ее касательной.

Как известно уравнение касательной т.е. .

Тогда,

По теореме Лагранжа

Поэтому

Разность снова преобразуем по формуле Лагранжа:

Т.О., получаем

Исследуем это равенство:

Если x> , то . Следовательно, т.е. y<y_кас:

< < <

Если x<x₀, то . Следовательно,

> > >

Итак, доказано, что во всех точках интервала (a;b) ордината касательной больше ординаты графика, т.е. график ф-ции выпуклый вверх.

Аналогично доказывается, что при ↓;

 

№60 Асимптоты ф-ций. Общая схема исследования ф-ции и построение ее графика.(вставить рис)

 

Опр. Асимптотой кривой call прямая, расстояние до которой от точки, лежащей на кривой, стремиться к нулю при неограниченном удалении от начала координат этой точки по кривой.

Асимптоты бывают

Вертикальными

Наклонными

Горизонтальными.

Вертикальные асимптоты.

t wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:lang w:val="EN-US"/></w:rPr><m:t>a</m:t></m:r></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> - вертикальная асимптота графика ф-ции , если , или s w:ascii="Cambria Math" w:h-ansi="Cambria Math"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:i/></w:rPr><m:t>x</m:t></m:r></m:e></m:d><m:r><w:rPr><w:rFonts w:ascii="Cambria Math" w:h-ansi="Cambria Math"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:i/></w:rPr><m:t>=в€ћ</m:t></m:r></m:e></m:func></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> , или .

Действительно, в этом случае непосредственно из рис видно, что расстояние от точки М(x;y) кривой от прямой равно .

Если x→a, то d→0. Согласно определению асимптоты, прямая является асимптотой кривой

Для отыскания вертикальных асимптот нужно найти те значения х в близи которых ф-ция неограниченно возрастает по модулю. Обычно это точки разрыва второго рода.

 

Наклонная асимптота

Уравнение наклонной асимптоты будем искать в виде , где . Причем, если хотя бы один из пределов не ∃ или равен ∞, то кривая асимптоты не имеет. В частности, если к=0, то поэтому – уравнение горизонтальной асимптоты.

Замечание: Асимптоты графика ф-ции могут быть разными, поэтому при нахождении пределов следует отдельно рассматривать случай, когда

 

Общая схема исследования ф-ции и построение ее графика

Найти .

Найти (если это можно) точки пересечения графика с осями координат.

Найти интервалы знакопостоянства ф-ции (промежутки, на которых f(x)>0 или f(x)<0).

Выяснить, является ли ф-ция четной, нечетной или общего вида.

Найти асимптоты графика ф-ции.

Найти монотонности ф-ции.

Найти экстремумы ф-ции.

Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика ф-ции.

По результатам исследования строим график.