Механический способ измерения площадей(ответ в вопросе 53)

36. Поверки и юстировка планиметра.

Перед началом обмера проверяют правильность работы механизмов планиметра. Счетное колесо должно свободно вращаться на своей оси и не задевать верньер. Барабан счетного колеса расположен достаточно близко к верньеру, но не касается его. Ось счетного колеса также должна свободно (без трения) вращаться.

 

37. Общие сведения об измерениях.

 

38. Задачи теории ошибок.Виды ошибок измерений.

Измерения в геодезии рассматриваются с двух точек зрения: количественной, выражающей числовое значение измеренной величины, и качественной, характеризующей ее точность. Из практики известно, что даже при самой тщательной и аккуратной работе многократные (повторные) измерения не дают одинаковых результатов. Это указывает на то, что получаемые результаты не являются точным значением измеряемой величины, а несколько отклоняются от него. Значение отклонения характеризует точность измерений. _При геодезических измерениях неизбежны ошибки. Эти ошибки бывают грубые, систематические и случайные.

 

39. Грубые ошибки.

К грубым ошибкам относятся просчеты в измерениях по причине невнимательности наблюдателя или неисправности прибора, и они полностью должны быть исключены. Это достигается путем повторного измерения.

40. Систематические ошибки.

 

__ Систематические ошибки происходят от неизвестного источника, имеют определенный знак и величину и их можно учесть при измерениях и вычислениях.

41. Случайные ошибки.Свойства случайных ошибок.

лучайные ошибки обусловлены разными причинами и полностью исключить их из измерений нельзя. Поэтому возникают две задачи: как из результатов измерений получить наиболее точную величину и как оценить точность полученных результатов измерений. Эти задачи решаются с помощью теории ошибок измерений. _______

_______В основу теории ошибок положены следующие свойства случайных ошибок:

_______1.

Малые ошибки встречаются чаще, а большие реже.
_______2.

Ошибки не превышают известного предела.
_______3.

Положительные и отрицательные ошибки, одинаковые по абсолютной величине, одинаково часто встречаются.
_______4.

Сумма ошибок, деленная на число измерений, стремится к нулю при большом числе измерений.

_______По источнику происхождения различают: ошибки приборов, внешние и личные. Ошибки приборов обусловлены их несовершенством, например погрешность угла, измеренного теодолитом, неточным приведением в вертикальное положение оси его вращения.

_______ Внешние ошибки происходят из-за влияния внешней среды, в которой протекают измерения, например погрешность в отсчете по нивелирной рейке из-за изменения температуры воздуха на пути светового луча (рефракция) или нагрева нивелира солнечными лучами.

_______Личные ошибки связаны с особенностями наблюдателя, например, разные наблюдатели по-разному наводят зрительную трубу на визирную цель. Так как грубые погрешности должны быть исключены из результатов измерений, а систематические исключены или ослаблены до минимально допустимого предела, то проектирование измерений с необходимой точностью и оценку результатов выполненных измерений производят, основываясь на свойствах случайных погрешностей.

 

42. Среднее арифметическое значение измеренной величины и его свойства.

Если одна величина измерена n раз и получены результаты: l₁, l₂, l₃, l₄, l₅, l₆,….., l_n,

то

_______Величина x называется арифметической срединой или вероятнейшим значением измеренной величины. Разности между каждым измерением и арифметической срединой называют вероятнейшими ошибками измерений:

Или в общем виде получим:

Тогда [v] = 0.

 

 

43. Критерии точности результатов измерений. (вопрос большой)

 

44. Средняя квадратиическая ошибка,вычисления по формуле Гаусса, и ее преимущества по сравнению с другими критериями точности результатов измерений.

Для правильного использования результатов измерений необходимо знать, с какой точностью, т. е. с какой степенью близости к истинному значению измеряемой величины, они получены. Характеристикой точности отдельного измерения в теории ошибок служит предложенная Гауссом средняя квадратическая ошибка m, вычисляемая по формуле

(5.2)

где п - число измерений данной величины.

Эта формула применима для случаев, когда известно истинное значение измеряемой величины. Такие случаи в практике встречаются редко. В то же время из измерений можно получить результат, наиболее близкий к истинному значению,- арифметическую средину. Для этого случая средняя квадратическая ошибка одного измерения подсчитывается по формуле Бесселя

(5.3)

где δ - отклонения отдельных значений измеренной величины от арифметической средины, называемые вероятнейшими ошибками, причем [δ]=0.

Точность арифметической средины, естественно, будет выше точности отдельного измерения. Ее средняя квадратическая ошибка М определяется по формуле

М = m /√ n (5.4)

где т - средняя квадратическая ошибка одного измерения, вычисляемая по формуле (5.2) или (5.3).

Часто в практике для контроля и повышения точности определяемую величину измеряют дважды - в прямом и обратном направлениях, например, длину линий, превышения между точками. Из двух полученных значений за окончательное принимается среднее из них. В этом случае средняя квадратическая ошибка одного измерения подсчитывается по формуле

(5.5)

а средний результат из двух измерений - по формуле

(5.6)

где d - разность двукратно измеренных величин, п - число разностей (двойных измерений).

В соответствии с первым свойством случайных ошибок для абсолютной величины случайной ошибки при данных условиях измерений существует допустимый предел, называемый предельной ошибкой. В строительных нормах предельная ошибка называется допускаемым отклонением.

 

45. Предельная ошибка. Средняя ошибка v.Вероятная ошибка r.

После проведения отбора для определения возможных границ генеральных характеристик рассчитываются средняя и предельная ошибки выборки.

Эти два вида ошибок связаны следующим соотношением:

Δ= t μ,

где Δ - предельная ошибка выборки;

μ - средняя ошибка выборки;

t - коэффициент доверия, определяемый в зависимости от уровня вероятности р.

Величина средней ошибки выборки рассчитывается дифференцированно в зависимости от способа отбора и процедуры выборки. Так, при случайном повторном отборе средняя ошибка определяется по формуле:

µ = s / √n

где:

s - выборочное (или генеральное) среднее квадратическое отклонение;

n - объем выборочной совокупности.

Расчет средней и предельной ошибок выборки позволяет определить возможные пределы, в которых будут находиться характеристики генеральной совокупности. Например, для выборочной средней такие пределы устанавливаются на основе следующих соотношений:

Формулу подписать: Х с волной сверху – треугольник и внизу подстрочное Х с волной Меньше либо равно Х с волной Меньше либо равно Х с волной плюс такой дже треугольник с подстрочным Х с волной

где х и ~ - генеральная и выборочная средняя соответственно; х

- предельная ошибка выборочной средней.

 

46. Относительная ошибка.

Относительной ошибкой называется отношение абсолютной погрешности к значению самой измеренной величины. Относительная ошибка выражается в виде простой дроби, числитель которой - единица, а знаменатель - число, округленное до двух-трех значащих цифр с нулями. Например, относительная средняя квадратическая ошибка измерения линии длиной l = 110 м при m_l = 2 см равна m_l / l = 1/5500, а относительная предельная ошибка при ∆_пред = 3 m ∆_пред/ l = 1/1800.

47. Средняя квадратическая ошибка функций непосредственно измеренных величин.

Если мы имеем функцию суммы или разности двух независимых величин

(18)

то квадрат средней квадратической ошибки функции выразится формулой:

(19)

При т_х = т_у = т

(20)

Пример. Линия на плане масштаба 1:5000 измерена по частям. Одна часть длиной 600,5 м, вторая часть длиной 400,0 м. Найти средние квадратические ошибки суммы и разности этих длин и соответствующие им относительные ошибки.

Ответ. Средняя квадратическая_ошибка суммы и разности двух длин будет т_г = 0,7 м, где т = 0,5-точность масштаба. Относительные ошибки суммы и разности длин соответственно равны

0,7/1000,5=1/1 400 и 0,7/200,5=1/300

Если функция имеет вид

(21)

то

(22)

т. е. квадрат средней квадратической ошибки алгебраической суммы аргументов равен сумме квадратов средних квадратиче-ских ошибок слагаемых.

Если m₁ = m₂ = m₃ =... = m_п = m. то формула (22) примет вид

(23)

т. е. средняя квадратическая ошибка алгебраической суммы (разности) измеренных с одинаковой точностью величин в √п раз больше средней квадратческой ошибки одного слагаемого.

Пример. В шестиугольнике каждый угол измерен с одинаковой точностью 0,5', средняя квадратическая ошибка суммы всех измеренных углов будет

(24)

то

(27)

 

48. Частные случаи вычисления средних квадратических ошибок рассмотренных функцый(будет четыре вопроса по четырем рассмотренным функциям).

Оценить точность каких-либо измерений – это значит определить на основе полученных результатов сравнимые числовые (количественные) характеристики, выражающие качественную сторону самих измерений и условий их проведения. Количественные характеристики измерений или критерии оценки точности измерений устанавливаются теорией вероятности и теорией ошибок (в частности, способом наименьших квадратов). Согласно этим теориям оценка точности результатов измерений производится только по случайным ошибкам. Показателями точности измерений могут служить:

- средняя квадратическая ошибка измерений;

- относительная ошибка измерений;

- предельная ошибка измерений.

Понятие средней квадратичной ошибки введено Гауссом, и в настоящее время она принята в качестве основной характеристики точности измерений в геодезии.

Средней квадратичной ошибкой называется среднее квадратичное значение из суммы квадратов ошибок отдельных измерений. Для ее вычисления используют либо истинные ошибки измерений, либо уклонения результатов измерений от среднего арифметического.

Обозначим истинное значение измеряемой величины через X, результат измерения через l_i.

Истинными ошибками измерений Δ _i называются разности результатов измерений и истинных значений, т. е.

Δ_i = l_i – X.

В этом случае среднюю квадратичную ошибку m отдельного результата вычисляют по формуле

(11)

где n – количество равноточных измерений.

Однако в большинстве случаев практики, если не считать редких случаев специальных исследований, истинное значение измеряемой величины и, следовательно, истинные ошибки остаются неизвестными. В этих случаях для нахождения окончательного значения измеряемой величины и оценки точности результатов измерений используют принцип среднего арифметического.

Пусть l₁, l₂,.... l_n результаты n равноточных измерений одной и той же величины. Тогда частное

 

называется средним арифметическим из измеренных значений этой величины.

Разность каждого отдельного результата измерения и среднего арифметического значения называется уклонением результатов измерений от среднего арифметического и обозначается буквой v:

v _i = l _i – .

 

49. Средняя квадратическая ошибка среднего арифметического значения измеренной величины.

Точность арифметической средины, естественно, будет выше точности отдельного измерения. Ее средняя квадратическая ошибка М определяется по формуле

М = m /√ n (5.4)

где т - средняя квадратическая ошибка одного измерения, вычисляемая по формуле

 

50. Формула Бесселя.

51. Обработка ряда равноточных измерений.

1. Вычисляют среднее арифметическое L

.

 

2. Вычисляют поправки к v _i результатам измерений

(i = 1, 2, …, n)

Контролем правильности вычислений служит сумма поправок, которая должна быть близка к нулю.

3. Вычисляют среднюю квадратическую погрешность одного измерения по формуле Бесселя:

.

Значение m вычисляют с двумя-тремя значащими цифрами.

4. Вычисляют среднюю квадратическую погрешность среднего арифметического

.

 

52. Принцип измерения горизантального и вертикального углов.

Рис. 8.1. Принцип измерения горизонтального угла

Расположим над вершиной измеряемого угла параллельно горизон­тальной плоскости градуированный круг, центр которого совмещен с точ­кой от­весной ли­нии Вв (рис. 8.1). Тогда угол b - измеряемый горизонтальный угол. Деления на круге под­писаны по ходу часовой стрелки, а и с – отсчеты по градуированной ок­ружности круга, горизонтальный угол b = а - с.