Понятие о прямой и обратной геодезических задачах

В геодезии существуют две стандартные задачи о вычислении элементов взаимного расположения двух точек: прямая и обратная геодезические задачи.

Прямая геодезическая задача – это вычисление координат X₂, Y₂ второго пункта, если известны координаты X₁, Y₁ первого пункта, дирекционный угол α и длина S линии, соединяющей эти пункты (рисунок 1). Прямая геодезическая задача решается по формулам:

,

,

,

.

 

Величины ΔX и ΔY называются

приращениями координат.

 

Рисунок 1

 

Обратная геодезическая задача – это вычисление дирекционного угла α и длины S линии, соединяющей два пункта с известными координатами X₁, Y₁ и X₂, Y₂ (рисунок 1). Для решения обратной геодезической задачи разработаны два алгоритма: через арктангенс и через арккосинус.

В первом алгоритме обратная задача решается по формулам:

 

; ;

; ;

 

Номер четверти и формула для вычисления дирекционного угла определяются по комбинации знаков ΔX и ΔY.

1-я четверть: ΔX>0; ΔY>0; α = r;

2-я четверть: ΔX<0; ΔY>0; α = 180⁰ – r;

3-я четверть: ΔX<0; ΔY<0; α = 180⁰ + r;

4-я четверть: ΔX>0; ΔY<0; α = 360⁰ – r;

Частный случай: ΔX=0 решается отдельно:

ΔY>0; α = 90⁰;

ΔY>0; α = 270⁰.

 

Длина линии вычисляется по формуле и контролируется по формулам .

Во втором алгоритме задача решается по формулам:

;

; ;

если ΔY>0, то ;

если ΔY<0, то .

 

Частный случай ΔY=0:

если ΔX>0, то α = 0⁰;

если ΔX<0, то α = 180⁰.