Доказать теорему о дифференцировании обратной функции
Билет 28. Применяя теорему о дифференцировании обратной функции, найти производную функции Пусть функция y = f(x) взаимно однозначна в интервале (a, b), содержащем точку x0. Пусть в точке x0 она имеет конечную и отличную от нуля производную f '(x0). Тогда обратная функция x = g(y) также имеет производную в соответствующей точке y0 = f(x0), причем Для = {cosx=V ̄1-sin2x, xϵ(-π/2; π/2} = 1/V ̄1-sin2x = {x=arcsiny} = 1/V ̄1-sin2(arcsiny) = {sin(arcsiny)=a} = 1/V ̄1-y2. Итак (arcsiny)’ = 1/V ̄1-y2. Переобозначим независимую переменную y через x и получим arcsinx = 1/V ̄1-x2. Билет 29. Применяя теорему о дифференцировании обратной функции, найти производную функции y=arctgx, xϵ(-∞;+∞), yϵ(-π/2;π/2).
(arctgx)’ = 1/(tgx)’ = 1/1/cos2x = {1/cos2x = 1+tg2x} = 1/1+tg2x = {x=arctgy} = 1/1+tg2(arctgy) = 1/1+y2. (arctgx)’ = 1/1+y2. Билет 30.
|
.
.
обратной функцией является 
, тогда по теореме о дифференцировании обратной функции получаем 
(sin2x+cos2x=1 → cos2x=1-sin2x) =
.
y = tgx; xϵ(-π/2;π/2)
