Дать определение показательной функции и рассказать о ее свойствах. Построить графики показательных функций

Показательная функция — математическая функция f(x) = a^x, где а называется основанием степени, а х — показателем степени.

Свойства показательной функции	y = a x, a > 1	y = a x, 0< a < 1
Область определения функции
2. Область значений функции
3.Промежутки сравнения с единицей	при x > 0, a x >1	при x > 0, 0< a x < 1
при x < 0, 0< a x < 1	при x < 0, a x >1
4. Чётность, нечётность.	Функция не является ни чётной, ни нечётной (функция общего вида).
5.Монотонность.	монотонно возрастает на R	монотонно убывает на R
6. Экстремумы.	Показательная функция экстремумов не имеет.
7.Асимптота	Ось O x является горизонтальной асимптотой.

 

Билет 8. Дать определение логарифмической функции и рассказать о ее свойствах. Построить графики логарифмических функций.

Из определения обратной функции следует, что для показательной функции существует обратная функция, а логарифмическая функция – это функция обратная к показательной (f(x) = a^х). Логарифмической называется функция вида у = log_а x, где а – заданное число, а > 0, а ≠ 1.

Свойства логарифмической функции:

Свойства функции	a > 1	0 < a < 1
Область определения D(f)	(0; )
Область значений E(f)	(– ; )
Четность, нечетность	Функция не является ни четной, ни нечетной
Нули функции	y = 0 при x = 1
Промежутки знакопостоянства	y > 0 при x (1; ) y < 0 при x (0;1)	y > 0 при x (0;1) y < 0 при x (1; )
Экстремумы	Функция экстремумов не имеет
Промежутки монотонности при x (0; )	Функция возраcтает	Функция убывает
Асимптота	x = 0

 

Билет 9.

Дать определения тригонометрических функций. Рассказать о свойствах этих функций. Построить графики тригонометрических функций и функций у = arcsin x, x ϵ (–1; 1) и y = arctg x, x ϵ (–∞; +∞).

Тригонометрические функции — элементарные функции, которые исторически возникли при рассмотрении прямоугольных треугольников и выражали зависимости сторон этих треугольников от острых углов при гипотенузе. К тригонометрическим функциям относятся: 1) прямые тригонометрические функции синус (sin x) косинус (cos x) 2) производные тригонометрические функции тангенс (tg x) котангенс (ctg x) 3) другие тригонометрические функции секанс (sec x) косеканс (cosec x)

Свойства: - основное тригонометрическое тождество. Деля это уравнение на квадрат косинуса и синуса соответственно имеем далее:

Косинус и секанс — чётные. Остальные четыре функции — нечётные. Функции sinx, cosx, secx, cosecx — периодические с периодом 2π, функции tgx и ctgx — c периодом π.

Формулы приведения, например: Формула сложения: Формула для кратных углов:

График y=sinx.

График y=cosx.

График y=tgx.

График y=ctgx.

График y=arcsinx, xϵ(-1,1) График y=arctgx, xϵ(-π/2;π/2).

Билет 10. Дать определение числовой последовательности; определения прогрессий. Привести пример применения понятий арифметической и геометрической прогрессий в финансовых операциях.

Числовая последовательность – это последовательность элементов числового пространства. Прогрессия – последовательность величин, каждая следующая из которых находится в некой, общей для всей прогрессии, зависимости от предыдущей. Арифметическая прогрессия — прогрессия, каждый следующий член которой равен предыдущему, увеличенному на фиксированное для прогрессии число.

Геометрическая прогрессия — прогрессия, каждый следующий член которой равен предыдущему, умноженному на фиксированное для прогрессии число.

Геометрическая прогрессия участвует при расчете процентной и учетной ставки, первым членом которой является начальная сумма P, а знаменатель равен (1 + i). P, P(1 + i), P(1 + i)2, P(1 + i)3, …, P(1 + i)n, где число лет ссуды n меньше числа членов прогрессии k на 1 (n = k - 1).

Наращенная стоимость (последний член прогрессии) находится по формуле, где (1 + i)n - множитель наращения декурсивных сложных процентов.

Билет 11.