Сформулировать свойства числовых последовательностей и проиллюстрировать их на примерах

1) Последовательность {y_n} называют возрастающей, если каждый ее член (кроме первого) больше предыдущего. 2) Последовательность {y_n} называют убывающей, если каждый ее член (кроме первого) меньше предыдущего. 3) Последовательность называется периодической, если существует такое натуральное число T, что начиная с некоторого n, выполняется равенство y_n = y_n+T. Число T называется длиной периода. 4) Последовательность a₁, a₂, a₃, … называется ограниченной, если для ее такое число С, что неравенство |a_n| C выполняется для всех номеров n.

Билет 12.

Дать определение предела числовой последовательности; определения бесконеч-но малых (б.м.) и бесконечно больших (б.б.) числовых последовательностей. Рас-сказать о связи б.м. и б.б. числовых последовательностей.

Число а называется пределом числовой последовательности{x_n}, если для любого сколь угодного малого положительного числа £ существует номер n₀ такой, что все элементы последовательности с номерами n>n₀ удовлетворяющие неравенству |x_n - a|< £.

Число а называется пределом числовой последовательности {x_n}, тогда и только тогда, когда вне любой £-окрестности точки а находится лишь конечное число элементов этой последовательности

Если предел числовой последовательности конечный, то последовательность называется сходящейся. Если предел числовой последовательности бесконечный или не существует называется расходящейся.

Бесконечно малая числовая последовательность – это последовательность, предел которой равен нулю.

Х_n = 1/n, n = 1,2…. – является бесконечно малой.

Бесконечно большая последовательность — это последовательность, предел которой равен бесконечности.

{X_n} = ∞

Связь бесконечно малой и большой числовой последовательности.