Дать определение эквивалентных б.м. функций. Привести примеры применения этого определения при вычислении пределов, связанных с первым замечательным пределом
Если Примеры использования. Найти Билет 21. Вывести определение непрерывности функции в точке в терминах приращений. Используя это определение, доказать непрерывность функции ∆y=f(x)-f(x0) – приращение данной функции в точке x0 ∆x=x-x0 – приращение аргумента. Отсюда lim∆y=0. Функция y = f(x) называется непрерывной в точке х0, если предел lim∆y=0 приращения функции в точке х0 равен 0 при стремлении приращения аргумента к 0. y=sinx xϵ(-∞+∞) - непрерывна на всей числовой оси. Пусть любой х0ϵ(-∞+∞) lim∆y=0. Найдем приращение данной функции в точке х0. ∆y=sinx-sinx0 = 2sin(x-x0)/2•cos(x+x0)/2 = 2sin∆x/2•cos(x+x0)/2. Найдем предел приращения функции при стремлении приращения аргумента к 0. lim∆y = lim2 • sin∆x/2 • cos(x+x0)/2 = lim2 • ∆x/2 • cos(x+x0)/2 = 0 • cosx0 = 0 → cos(x+x0) = cos2x0 lim∆y=0→данная функция непрерывна в точке х0 в силу произвольного выбора делаем выбор, что функция непрерывна на всей области определения. Билет 22.
|
, то бесконечно малые величины 
и 
называются эквивалентными (
).
Заменяя 
эквивалентной величиной 
. Получаем: 
.
