Доказать теорему о достаточных условиях возрастания функции
Если дифференцируемая функция y=f(x) возрастает на [a, b], то ее производная неотрицательна на этом отрезке, f '(x)≥ 0. Обратно. Если функция y=f(x) непрерывна на [a, b], дифференцируема на (a, b) и ее производная положительна на этом отрезке,f ' (x)≥ 0 для a<x<b, то f(x) возрастает на[a, b]. Докажем первую часть теоремы. Итак, пусть функция y=f(x) возрастает на [a, b]. Зафиксируем на этом отрезке произвольную точку x, придадим ей приращение Δx. Тогда если Δx>0, то x<x+Δx. Поэтому по определению возрастающей функции f(x)<f(x+Δx), то есть f(x+Δx) - f(x)>0. Но тогда и Докажем вторую часть теоремы. Пусть f '(x)>0при всех x Î (a,b). Рассмотрим два любых значения x1 и x2 таких, что x1 < x2. Нужно доказать, что f(x1)< f(x2). По теореме Лагранжа существует такое число c Î (x1, x2), что Аналогичная теорема имеет место и для убывающих функций. Билет 37.
|
Аналогично, если Δx<0, то x>x+Δx и значит f(x+Δx)-f(x)<0, а 
Переходя в этом равенстве к пределу при Δx→0, получим 
, то есть f '(x)≥0.
По условию f '(x)>0, x1 – x2>0, 
а это и значит, что f(x) – возрастающая функция.
