Колебания системы с двумя степенями свободы. Нормальные колебания(моды). нормальные частоты. Примеры

Если система обладает несколикими слепенями свободы, то при малых отклонениях от положения равновесия возможны колебания сразу по всем степеням свободы. Обычный маятник может колебаться в двух взаимо перпендкудярных вертикальных плоскостях, проходящих через точку подвеса. Поэтому он имеет две степени свободы. Наличие связи раздичных степеней свободы между собой придает колебанию системы со многими степенями свободы новые физические закономерности.

Связанной системой называется система со многими степенями свободы, между которыми имеется связи, обеспечивающие возможность обмена энергией между различными степенями свободы. Примером связанной системы с двумя степенями свободы могут служить два маятника, соединенных между собой пружиной.

 

 

Несмотря на сложность движения двух связанных маятников, оно всегда может быть представлено как суперпоизция четырех гармонических колебаний, частоты которых называются нормальными частотами связанной системы. Число нормальных частот равно числу степеней свободы. В приведенном примере имеем две степени свободы. И можно представить колебание как суперпозицию двух колебаний.

ωI S^I₁(t)=S20sin(ω_I*t+φ_I)

S^I₂(t)=S₁₀sin(ω_I*t+φ_I)

ωI, S^I20/S^I10=1 – первая мода

ωI=√(k/m)

ωII S^II₁(t)=S^II20*sin(ω_II*t+φ_II)

S^II₂(t)=S^II_10*sin(ω_II*t+φ_II)

 

ωII, S^II20 / S^II₁₀ = -1 – вторая мода

ωII=√((k+2k1)/m)

S₁(t)=S^I10*sin(ω_I*t+φ_I)+S^II10*sin(ω_II*t+φ_II)

S₂(t)=S^I20*sin(ω_I*t+φ_I)+S^II20*sin(ω_II*t+φ_II)

 

ωI,ωII, S^I20/S^I10, S^II20 / S^II₁₀ }à известны

Начальные условия S1(0), S1^'(0)

S₂(0), S₂^'(0) } → S^I10; φ_I

S^II10; φ_II

Еслимаятинки отклонить одинаково в одну сторону, то они колеблются с некоторой частотой ω1, которая называется нормальной. Частота колебаний маятников, отклоненных одинаково в противоположных направлениях, является другой нормальной частотой ω2.

Если ω_I ≈ ω_II, |ω_I – ω_II | <<ω_I ≈ ω_II, тогда отчетливо будут наблюдаться биения. Биение – колебание, которое происходит с медленой частотой и является суммой двух гармонических колебаний с близкими частотами. Это колебание с изменяющейся амплитудой. Оно лишь приблизительно гармоническое с частотой ω_I ≈ ω_II, а его амплитуда изменяется с частотой |ω_I – ω_II |. T_биен=2p/(ω_I – ω_II).

_Δω=ω_I – ω_II

<ω>=(ω_I +ω_II)/2

S₁(t)=2*S₁(t)*(cos(_Δω/2)t) *cos(<ω>t)

S₂(t)=2*S₁(t)*(sin( _Δω/2)t) *cos(<ω>t)