О сущности метода

Сущность метода Монте-Карло состоит в том, что искомая величина представляется в виде математического ожидания неко­торой случайной величины, математическое ожидание которой за­меняется средним арифметическим реализаций этой случайной ве­личины при большом числе испытаний, обычно проводимых на ЭВМ. При этом оценка погрешности метода сводится к интер­вальной оценке погрешности математического ожидания.

Особенностью метода является простая структура вычисли­тельного алгоритма, в соответствии с которым составляется про­грамма для проведения одного испытания, которое затем много­кратно повторяется. Именно поэтому метод Монте-Карло называ­ют еще и методом статистических испытаний.

6) 1. ПРОИЗВОДНАЯ КАК МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ФИЗИЧЕСКИХ, ТЕХНИЧЕСКИХ И ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПОНЯТИЙ И ВЕЛИЧИН, ИХ ЗАВИСИМОСТЕЙ.

Рассмотрим общую задачу об определении мгновенной скорости движения точки, абсцисса которой есть функция времени: . Итак, в момент времени абсцисса точки равна , в момент времени её абсцисса будет , поэтому приращение абсциссы точки равно

= и .

Следовательно, первая производная от абсциссы движущейся точки по времени есть скорость (проекция скорости на ось – физический смысл производной), а вторая – т.е. проекция ускорения на ту же ось (физический смысл второй производной).

Аналогично, если – объём продукции, выпускаемой за время , то часть продукции , выпущенной за промежуток времени и отнесённая к , может быть истолкована как средняя производительность , а тогда под производительностью в данный момент времени естественно понимать производную , т.е. = (Экономический смысл производной).

Рисунок 11.2 – Модель стержня

Теперь рассмотрим задачу об определении плотности стержня в точке. Для этого (рисунок 11.2) левый конец стержня совместим с точкой а, правый – с точкой b и обозначим через абсциссу какой – либо точки этого стержня. Масса части стержня, расположенного левее точки , есть неубывающая функция и приращение , где равно массе участка стержня между точками и , а

есть средняя плотность распределения массы стержня на участке длиною . Переходя к пределу в последнем равенстве при , найдём плотность стержня в точке :

,

конечно при условии, что этот предел существует.

Решения приведённых задач по существу сводились к одной и той же операции: нахождению предела приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю. Существует очень много прикладных и научных задач, результатом решения которых является указанный предел. Отвлекаясь от физического смысла участвующих в таких задачах величин, мы приходим к единству таких математических моделей, к математической модели, общей для всех таких задач. В рассматриваемом случае такой моделью является производная.

 

6) 2. ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ПРОИЗВЕДЕНИЯ МАТРИЦЫ-СТРОКИ НА МАТРИЦУ-СТОЛБЕЦ.

В экономике и других областях часто приходится иметь дело с прямоугольными таблицами, которым соответствуют такие математические модели как матрицы. В частности, каждый вектор можно рассматривать как матрицу, состоящую из одной строки и ли одного столбца, т.е. матрица является обобщением такого понятия как n мерный вектор. Именно поэтому матрице и операциям над матрицами можно дать экономическую интерпретацию, обобщающую аналогичную для n мерных векторов.

Итак, пусть k фабрик выпускают n различных видов продукции каждая. Тогда отчет о производстве за год всех k фабрик может быть описан с помощью матрицы (таблицы)

где a_ij - количество продукции j - го вида выпущенной i -й фабрикой за год. Выпуск

продукции, например, за 1, 2 года при сохранении производительности будет характеризоваться матрицей

Выпуск тех же n видов продукции другой группой из к фабрик, специализирующихся соответственно на той же продукции, будет характеризоваться второй матрицей В с элементами b_ij а совокупный продукт обеих групп фабрик может быть описан

матрицей А + В с элементами а_ij + b_ij.

Теперь укажем экономический смысл произведения матрицы строки на матрицу столбец, рассматривая множители как векторы, а результат - как скалярное произведение.

Тогда, учитывая обозначения компонентов векторов - ā и , можем написать равенство, в правой части которого получится величина, равная стоимости годового объема продукции фабрики. Отметим, что «скалярное» произведение «строки» на «столбец» дает «квадратную» матрицу первого порядка, т.е. число: