Задача 2. Тело массой m совершает вдоль прямой горизонтальные колебания под действием пружины (рисунок пружинный маятник)
Тело массой m совершает вдоль прямой горизонтальные колебания под действием пружины (рисунок пружинный маятник). Найти период колебаний этого тела, пренебрегая массой пружины, трением и сопротивлением среды. Решение: ось x направим вдоль прямой колебаний, а начало координат поместим в точке равновесия (рисунок).
Рисунок – Пружинный маятник Для определения периода колебаний отклоним материальную точку (модель тела) m вправо на расстояние x0 и отпустим при v=0. Поскольку dx=vdt, период колебаний будет
Сейчас для нас важно, что знаменатель v подынтегральный функции при x=x0 равен нулю, т.е. правая часть, является несобственным интегралом от неограниченной функции, но этот интеграл представляет собой математическую модель реальной величины-периода колебаний. Проще всего найти этот интеграл, используя физический закон сохранения энергии
здесь перед корнем поставлен знак минус, так как v<0 при 0< x<x0 (проекция скорости на ось x – отрицательная, поскольку точка движется влево).
|
(1)
, из которого имеем:
,
