МЕХАНИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ РЯДА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ, ЕЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ И ДИСПЕРСИИ

Существует много таких задач, в которых случайный исход опыта выражается числом, являющимся значением случайной величины. Так называют величину, которая в результате опыта может принять то или иное значение, заранее неизвестно, какое именно. Рассмотрим СВ «Размер обуви». Для продавца эта величина является случайной, поскольку ему заранее неизвестно, какой размер будет востребован покупателем. Эта СВ как и любая другая дискретная величина может быть представлена в виде табличной модели случайного опыта, в верхней строке которой будут записаны числа, соответствующие исходам опыта. Рассмотрим эксперимент по продаже обуви, проводимый в течение недели в стране, в результате которого будут подсчитаны количества пар обуви каждого размера из проданных за указанное время N пар.

 

	...	36	37	38	...	45	...
	...				...		...

Здесь N – общее число пар проданной обуви, N(K –) число пар проданной обуви K- го размера, - относительная частота, которая в пределе при N→∞ может бытьзаменена соответствующей вероятностью. Сумма всех относительных частот из нижней строки равна 1.

Такая табличная модель случайной величины «Размер обуви» имеет большое практическое значение, так как она указывает, в каких пропорциях или процентных отношениях следует наладить производство обуви необходимых размеров, чтобы были удовлетворены потребности населения.

Теперь отвлечемся от конкретных примеров и зададим дискретную СВ X таблицей

 

X, x	x1	x2	x3	...	xn
x	p1	x2	p3	...	pn

где, x_k – значение X, p_k – вероятность этого значения и p₁+p₂+p₃+...+p_n=1.

Когда указанная таблица, в которой вероятности p_k заменены относительными частотами

моделирует массовые или многократно повторяемые опыты, естественно поставить вопрос о среднем значении СВ X. Так как относительная частота значения x₁ равна то в серии из N опытов N₁ раз будет появляться x₁, а потому

т.е. , аналогично и т.д.

Сумма всех значений величины x, наблюдаемых в N опытах, будет

,

Значит среднее значение равно найденной сумме, деленной на N, т.е. =(), которое в пределе при N→∞, , совпадет с теоретическим(идеализированным) средним значением, называемым математическим ожиданием СВ

Х. Итак, M(x)= - математическое ожидание СВ X, которое является ее средним теоретическим значением.

Однако при решении многих задач недостаточно знать только математическое ожидание (МО) СВ Х: значения многих СВ с одним и тем же МО могут быть различным образом разбросаны, рассеяны около МО. Основными характеристиками рассеивания СВ Х является дисперсия D (X) и среднее квадратическое отклонение

,

D(X)=M (X- )², =M (X).