Теорема 11.1 Существует предел последовательности

Доказательство. Сначала докажем лемму

Лемма 11.1. (неравенство Бернулли):

Если , то .

Доказательство. Используем метод математической индукции. При имеем: . Предположим, что при неравенство верно: . Тогда при имеем: . Неравенство доказано.

Чтобы доказать существование предела , рассмотрим последовательность . Для членов этой последовательности:

Применим неравенство Бернулли, обозначив , при этом очевидно, что . 1. Таким образом, . Так как , то , поэтому рассматриваемая последовательность убывает и ограничена снизу. Значит, существует предел . Так как , то и . Следовательно, . Таким образом, .

Теорема 11.2 Имеет место равенство

.

Доказательство. (НА ЭКЗАМЕНЕ НЕОБЯЗАТЕЛЬНО ЕГО ЗНАТЬ. ПРИВЕДЕНО ДЛЯ ИНТЕРЕСУЮЩИХСЯ МАТЕМАТИКОЙ)

1. Докажем сначала, что .

Обозначим за n целую часть отношения . . Тогда справедливо неравенство: . Перепишем его в виде . Тогда . При этом , . В полученном неравенстве левая и правая части стремятся к e, т.к. .

Таким образом, по теореме “о зажатой переменной” 9.3. получаем, что .

1. Докажем теперь, что .

Обозначим . Получаем, что . Выражение при . Обозначив получаем, что . Тогда . Полученное выражение стремится к e при , т.к. . Теорема доказана.