Доказательство

Функция четная. Поэтому если доказать, что , то и , и по теореме 9.4. тогда . В определении предела при можно дополнительно требовать выполнение условия

(В определении требуется существование хотя бы какого-нибудь . Если же мы найдем , то, тем самым, хотя бы какое-нибудь будет найдено.) Итак, . Рассмотрим окружность единичного радиуса и площади треугольников OAC, OBC и сектора OAC. , , сект. , откуда при , что равносильно , . Далее,

, а для мы только что доказали, что . , поэтому по теореме 9.3. и, значит, . Снова применяем теорему 9.3, откуда и, значит, .

Вопрос 10: ПРЕДЕЛ МОНОТОННОЙ ОГРАНИЧЕННОЙ ФУНКЦИИ

Эта информация относится ко всем вопросам. Ее следует знать, но не следует рассказывать именно в 10 билете. Ниже приводятся определения бесконечных пределов.

.

.

.

.

.

Определение 10.1 Последовательность называется неубывающей, если для всех n выполняется неравенство . Она называется возрастающей, если выполняется неравенство . Последовательность называется невозрастающей, если для всех n выполняется неравенство . Она называется убывающей, если выполняется неравенство .Общее название всех таких последовательностей – монотонные последовательности.

Определение 10.1′;Функция , определенная на промежутке называется: неубывающей(возрастающей) на Х, если для всех из неравенства следует неравенство (). Она называется невозрастающей(убывающей) на Х, если из следует (). Общее название для этих случаев – монотонные на Х функции.

Теорема 10.1 (К. Вейерштрасс)