Если и - бесконечно малые последовательности, то произведение - бесконечно малая последовательность
Доказательство. Доказательство проводим для случая бесконечно малых функций. Зафиксируем произвольное
Обозначив
По свойству модулей: 2. Зафиксируем произвольное Обозначив за 3. Докажем сначала лемму. Лемма8.1. Если Доказательство: возьмем Вернёмся к теореме. По доказанной лемме Теорема 8.4 (Арифметические свойства предела) Пусть две функции и, имеют пределы и, соответственно, при. Тогда предел суммы, разности, произведения, и, если, частного этих функций равны соответственно сумме, разности, произведению и частному значения этих пределов, т.е., если, то.
|
и рассмотрим 
. Тогда, по определению предела,
, получаем:
.
, обозначив 
получаем: 
. Таким образом, 
, т.е. 
- бесконечно малая.
- ограничена при 
, т.е. 
, 
: 
.
. Тогда 
.
получаем: 
. Значит, 
, т.е. 
- бесконечно малая при 
- бесконечно малая при \Билет%204.files\Image488.gif)
, то она ограничена при 
и получим, что 
. Таким образом, при 
- ограничена при 
