Лемма 8.3.Если , то
Доказательство. Имеет место равенство
Для доказательства равенства
Вопрос 9.ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД В НЕРАВЕНСТВАХ. ВЫЧИСЛЕНИЕ Теорема 9.1. Если функция имеет предел при, равный А и в некоторой проколотой окрестности точки a принимает неотрицательные значения, то. Доказательство. Будем доказывать методом от противного. Допустим, что A<0. Возьмем
Получаем, что для любого
|
. По лемме 8.2 в 
выполняется не равенство 
, следовательно, 
. Значит, функция 
ограничена при 
, и 
- бесконечно малая при 
бесконечно малая, т.е. 
. Лемма доказана.
применим лемму8.3 и часть теоремы 8.4 о пределе произведения функций..
. Тогда 
, откуда 
из пересечения проколотых окрестностей 
и \Билет%205.files\Image593.gif)
и \Билет%205.files\Image594.gif)
. Тем самым мы пришли к противоречию. Теорема доказана.
