Вопрос 8. Предел последовательности. Предел функции. Бесконечно малые величины .Арифметические свойства предела
Определение 8.1 Если каждому Некоторые последовательности обладают очень важным свойством – они имеют предел. Определение 8.2 Последовательность Удобно записывать это определение с помощью логических символов: Для обозначения предела последовательности используется символ: Примеры. 1) Если Доказательство. Для любого 2) Если Доказательство. Пусть Пусть Определение 8.3 Функция Данное определение называется определением предела по Коши. В этом определении можно вместо произвольной Вспоминая, что условие
|
сопоставлено число 
, то говорят, чтозадана последовательность 
имеет предел, равный числу A тогда и только тогда, когда для любого 
существует число 
такое, что для всех 
, выполняется неравенство 
.
.
для всех n, то 
, и любого n 
.
, то 
. Тогда если 
и 
, поэтому 
.
определена в некоторой проколотой окрестности 
точки а.
предел, равный числу А тогда и только тогда, когда для любой окрестности 
точки А существует проколотая окрестность 
точки а 
такая, что 
, или, равносильно, такая, что для любого 
. С помощью логических символов это определение записывается так: 
при произвольном 
. Тогда оно примет вид: 
.
равносильно неравенствам 
, а условие 
равносильно условию 
, получаем равносильную определению 8.3 запись определения предела на "языке 
": 
