Вопрос 8. Предел последовательности. Предел функции. Бесконечно малые величины .Арифметические свойства предела

Определение 8.1 Если каждому сопоставлено число , то говорят, чтозадана последовательность

Некоторые последовательности обладают очень важным свойством – они имеют предел.

Определение 8.2 Последовательность имеет предел, равный числу A тогда и только тогда, когда для любого существует число такое, что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

Удобно записывать это определение с помощью логических символов: .

Для обозначения предела последовательности используется символ: .

Примеры. 1) Если для всех n, то

Доказательство. Для любого и любого , и любого n .

2) Если , то

Доказательство. Пусть . Возьмем . Тогда если , то и , поэтому .

Пусть определена в некоторой проколотой окрестности точки а.

Определение 8.3 Функция имеет при предел, равный числу А тогда и только тогда, когда для любой окрестности точки А существует проколотая окрестность точки а такая, что , или, равносильно, такая, что для любого . С помощью логических символов это определение записывается так:

Данное определение называется определением предела по Коши.

В этом определении можно вместо произвольной рассматривать при произвольном и, соответственно, вместо - проколотую окрестность . Тогда оно примет вид: .

Вспоминая, что условие равносильно неравенствам , а условие равносильно условию , получаем равносильную определению 8.3 запись определения предела на "языке ":