Теорема 6.2. Если a – предельная точка А, то в любой проколотой окрестности точки а, содержится бесконечное множество точек из А

Доказательство. Рассмотрим произвольную окрестность и в ней также произвольную . Обозначаем . В существует точка , по определению предельной точки. Пусть . В существует точка . Точка не может совпасть с , т.к. . Далее полагаем . В существует точка , причем , т.к. и т.д.

В итоге получаем бесконечное множество точек из А, входящих в , что и утверждалось.

Следствие. Конечное множество не имеет предельных точек.

Вопрос 7. ПРИБЛИЖЁННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ

Результаты измерений и расчётов редко бывают совершенно точными. Сама математическая модель, описывающая изучаемое явление, в определённой степени идеализирована, она изображает процесс лишь с некоторой точностью. Параметры процесса так же, как правило, вычислены лишь приблизительно; в частности, источниками ошибок могут быть ошибки измерительных приборов. Наконец, сами вычисления содержат округления и т.п. Поэтому часто приходится использовать в вычислениях не само действительное число, а лишь некоторое его приближённое значение.

Обычно приближённым значением действительного числа называется число, незначительно отличающееся от числа и заменяющее это число в вычислениях. Но для того, чтобы сделать результаты приближённых вычислений надёжными, следует уточнить понятие приближённого значения и соблюдать правила приближённых вычислений.

Поэтому этот и следующие разделы первого параграфа будут посвящены правилам приближённых вычислений, часто используемым на практике.

Определение 7.1. Под ошибкой или погрешностью приближённого числа обычно понимают разность между соответствующим точным числом и числом , т.е. . Погрешность может быть положительной, в таком случае приближение называется приближением по избытку. Если погрешность отрицательная, то приближение называется приближением по недостатку. Удобно рассматривать абсолютную погрешность приближённого числа , равную абсолютной величине погрешности , т.е. .

Часто бывает так, что точное значение числа нам неизвестно. В этом случае абсолютная погрешность нам также неизвестна, и следует попытаться найти оценку сверху для этой погрешности, т.е. такое число , про которое известно, что оно не меньше, чем . Тогда неравенство означает, что , или, что то же самое, что . Таким образом, число будет являться приближением для числа по недостатку, а число будет являться приближением для числа по избытку. Неравенства часто кратко записывают так: . Они означают, что число находится на интервале длины с центром в точке .

Разумеется, если , то из приближённого равенства следует менее точное приближённое равенство .

Число , т.е. точность приближения, выбирается, в основном, исходя из потребностей решаемой задачи. Это означает, что одно и то же число может быть приближено с различной точностью (примеры будут даны ниже). Таким образом, часто вместо точного значения действительного числа мы рассматриваем совокупность его различных приближённых значений с различными заданными точностями.

Определение 7.2. Ещё одна важная характеристика качества приближения – относительная погрешность приближённого числа . По определению, эта величина равна .

В тех случаях, когда точное значение числа нам неизвестно, невозможно дать и точное значение числа . Тогда, как и выше, следует получить оценку сверху для относительной погрешности, исходя из оценки сверху для абсолютной погрешности. Например, при условиях справедлива такая оценка:

.