Вопрос 6. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТОЧКИ

Определение 6.1. Окрестностью точки a называется любой интервал, содержащий точку a. Чаще всего рассматривают симметричную окрестность радиуса , . Проколотой окрестностью точки a называется окрестность точки a, из которой исключена сама точка a, т.е. .

Определение 6.2. a - предельная точка множества A, если в любой проколотой окрестности точки a есть точки из множества A: .

В определении не сказано, что . В приведенных ниже примерах встретятся ситуации, и когда предельная точка а множества А принадлежит самому множеству А, и когда она не принадлежит множеству А.

Пример 1. Пусть . Любая точка с, не принадлежащая этому отрезку, не является предельной точкой (см. рис.1).

 

x

[() (]) a b (рис. 2)

Для любой можно указать окрестность точки с, не пересекающуюся с .

 

Любая окрестность любой точки имеет непустое пересечение с см. рис.2

Итак, множеством предельных точек отрезка является сам отрезок. Он содержит все свои предельные точки.

Определение 6.3. Множество, содержащее все свои предельные точки, называется замкнутым.

Пример 2. Пусть . Как и выше, если , то с не является предельной точкой А.

 

Но любая окрестность любой точки имеет непустое пересечение с ,

 

Поэтому множеством предельных точек интервала является отрезок . В этом случае концы a, b этого отрезка – предельные точки , не принадлежащие .