Аксиомы Пеано. Более глубокое представление о натуральных числах, даёт предложенная в 1889 году Дж

Более глубокое представление о натуральных числах, даёт предложенная в 1889 году Дж. Пеано система аксиом:

1.Единица – натуральное число. Она обозначается символом 1.

2. Для любого натурального числа существует единственное натуральное число, за ним следующее. Оно обозначается символом .

3. Единица не является числом, следующим за каким-нибудь натуральным числом.

4. Если число , следующее за натуральным числом , равно числу , следующему за натуральным числом , то .

5. Пусть множество натуральных чисел обладает следующими свойствами: и из того, что следует, что . Тогда множество совпадает с множеством натуральных чисел.

Пятая аксиома является основой метода математической индукции.

С помощью аксиом можно строго определить операцию сложения. Всякой паре натуральных чисел ставится в соответствие третье натуральное число, называемое их суммой и обозначаемое , по следующим правилам: .

С помощью аксиом можно определить также операцию умножения. Всякой паре натуральных чисел ставится в соответствие третье натуральное число, называемое их произведением и обозначаемое , либо просто , по следующим правилам: .

Для заинтересованного читателя (мы верим, такие есть!) приведём пример доказательства одного из свойств натуральных чисел, например, равенства .

По определению умножения, . Предположив, что равенство выполнено для чисел докажем его для чисел . Действительно,

что и требовалось доказать.