Аксиомы Пеано. Более глубокое представление о натуральных числах, даёт предложенная в 1889 году ДжБолее глубокое представление о натуральных числах, даёт предложенная в 1889 году Дж. Пеано система аксиом: 1.Единица – натуральное число. Она обозначается символом 1. 2. Для любого натурального числа 3. Единица не является числом, следующим за каким-нибудь натуральным числом. 4. Если число 5. Пусть множество Пятая аксиома является основой метода математической индукции. С помощью аксиом можно строго определить операцию сложения. Всякой паре С помощью аксиом можно определить также операцию умножения. Всякой паре Для заинтересованного читателя (мы верим, такие есть!) приведём пример доказательства одного из свойств натуральных чисел, например, равенства По определению умножения,
что и требовалось доказать.
|
существует единственное натуральное число, за ним следующее. Оно обозначается символом 
.
, следующему за натуральным числом 
, то 
.
натуральных чисел обладает следующими свойствами: 
и из того, что 
следует, что 
. Тогда множество 
натуральных чисел ставится в соответствие третье натуральное число, называемое их суммой и обозначаемое 
, по следующим правилам: 
.
, либо просто 
, по следующим правилам: 
.
.
. Предположив, что равенство выполнено для чисел 
докажем его для чисел 
. Действительно,
