Операции над множествамиПусть задано некоторое основное множество и его подмножества и . Определение 1.1. Объединение этих множеств определяется, как подмножество множества , состоящее из элементов, входящих хотя бы в одно из множеств и . Определение 1.2. Пересечение этих множеств определяется, как подмножество множества , состоящее из элементов, одновременно входящих как в множество , так и в множество . Определение 1.3 Дополнение множества определяется, как подмножество множества , не содержащее элементов множества . Перечислим некоторые свойства операций над множествами. В качестве примера докажем свойство . Для этого заметим, что условие равносильно тому, что . Это, в свою очередь, равносильно тому, что и , т.е. . Свойство доказано. Это утверждение, вместе с утверждением , называют теоремами де Моргана. Доказательства остальных свойств ещё проще и мы их опускаем. Подмножества основного множества вместе с введёнными выше операциями, дают пример так называемой булевой алгебры.
|