Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Определение 2.2.Любое подмножество множества называется бинарным отношением





Аналогичным образом можно рассматривать декартовы произведения трёх и более множеств. Их подмножества будут называться тернарными и т.п. отношениями.

Изучим понятие бинарного отношения более подробно, так как оно является важным не только для математического анализа, но и для компьютерной математики.

Задавать бинарные соотношения конечных множеств можно, например, с помощью таблиц. Например, пусть . Зададим отношение свойством: пара принадлежит отношению тогда и только тогда, когда есть делитель . Отношение , таким образом, состоит из пар:

Изобразим это отношение следующим образом. Проведём три прямые, соответствующие трём элементам множества . Проведём шесть перпендикулярных им прямых, соответствующих элементам множества . Отметим жирной точкой те точки пересечения этих прямых, которые соответствуют отношению .(рис.1)

 

 

 

Рис.1 Рис.2 Рис.3

 

Другой способ задания бинарного отношения – использование стрелок. Элементы и изображаются в виде точек плоскости. Стрелками соединены те и только те элементы , для которых .(рис.2)

Это же бинарное отношение можно задать матрицей, состоящей из 0 и 1. Её строки соответствуют элементам множества , столбцы – элементам множества . Элемент этой матрицы равен 1 тогда и только тогда, когда он стоит на пересечении строки и столбца, соответствующих паре , для которой .

Определение 2.3. Элемент называется проекцией элемента на множество . Для произвольного подмножества его проекцие й на называется множество, состоящее из проекций на всех элементов множества .

Определение 2.4. Сечением множества называется множество элементов , для которых . Множество сечений отношения называется фактормножеством по отношению и обозначается .

Так как отношения представляют собой множества, к ним можно применить операции, определённые в предыдущем параграфе. Но кроме этих операций есть ещё важные операции композиции и симметризации.

Пусть даны множества и отношения .

Определение 2.5. Композиция отношений - это отношение между элементами множеств и такое, что для всех сечение множества по совпадает с сечением множества по подмножеству , т.е. .

Если даны две пары отношений , и , причём и , то операция композиции обладает следующим свойством: .

Определение 2.6. Отношение, симметричное к некоторому отношению и обозначаемое , представляет собой подмножество множества , образованное теми парами , для которых . Если и , то .

Предположим, что задано некоторое основное множество . Отношение называется отношением эквивалентности, если оно обладает такими свойствами:

1. Рефлексивностью: всякий элемент эквивалентен самому себе. Иными словами, для любого пара .

2. Симметричностью: для любых двух элементов из того, что эквивалентен следует, что эквивалентен . Другими словами, если , то . Это означает, что отношение совпадает со своим обратным, .

3. Транзитивностью: если эквивалентен , а эквивалентен , то эквивалентен . Иначе говоря, если и , то .

Очень часто отношение эквивалентности элементов обозначается так: .

Важным понятием является понятие класса эквивалентности. Класс эквивалентности элемента состоит из всех элементов , эквивалентных элементу . Для неэквивалентных элементов их классы эквивалентности не пересекаются. Множество классов эквивалентности называется фактормножеством множества по отношению и обозначается . Если взять ровно по одному элементу из каждого класса эквивалентности, получим систему представителей.

В качестве примера рассмотрим множество Z целых чисел. Зафиксируем произвольное целое число и назовём два целых числа сравнимыми по модулю (что обозначается ), если разность делится на . Легко видеть, определённое таким образом отношение обладает всеми свойствами отношения эквивалентности. Классы эквивалентности называются классами вычетов по модулю , в качестве системы представителей можно взять всевозможные остатки от деления на , т.е. числа . Это множество обозначается Z . На нём можно определить операции сложения и умножения естественным образом. Имеется в виду, что следует просуммировать вычеты, как обычные целые числа, разделить сумму на с остатком и этот остаток назвать суммой вычетов. Аналогично определим произведение вычетов.

 

 







Дата добавления: 2015-04-16; просмотров: 642. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!




Практические расчеты на срез и смятие При изучении темы обратите внимание на основные расчетные предпосылки и условности расчета...


Функция спроса населения на данный товар Функция спроса населения на данный товар: Qd=7-Р. Функция предложения: Qs= -5+2Р,где...


Аальтернативная стоимость. Кривая производственных возможностей В экономике Буридании есть 100 ед. труда с производительностью 4 м ткани или 2 кг мяса...


Вычисление основной дактилоскопической формулы Вычислением основной дактоформулы обычно занимается следователь. Для этого все десять пальцев разбиваются на пять пар...

ТЕОРИЯ ЗАЩИТНЫХ МЕХАНИЗМОВ ЛИЧНОСТИ В современной психологической литературе встречаются различные термины, касающиеся феноменов защиты...

Этические проблемы проведения экспериментов на человеке и животных В настоящее время четко определены новые подходы и требования к биомедицинским исследованиям...

Классификация потерь населения в очагах поражения в военное время Ядерное, химическое и бактериологическое (биологическое) оружие является оружием массового поражения...

Ученые, внесшие большой вклад в развитие науки биологии Краткая история развития биологии. Чарльз Дарвин (1809 -1882)- основной труд « О происхождении видов путем естественного отбора или Сохранение благоприятствующих пород в борьбе за жизнь»...

Этапы трансляции и их характеристика Трансляция (от лат. translatio — перевод) — процесс синтеза белка из аминокислот на матрице информационной (матричной) РНК (иРНК...

Условия, необходимые для появления жизни История жизни и история Земли неотделимы друг от друга, так как именно в процессах развития нашей планеты как космического тела закладывались определенные физические и химические условия, необходимые для появления и развития жизни...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2025 год . (0.011 сек.) русская версия | украинская версия