Вопрос 3: ОТОБРАЖЕНИЯ И ИХ СВОЙСТВА

Определение 3.1. Назовём бинарное отношение функциональным, если для каждого сечение содержит не более одного элемента.

Определение 3.2. Если отношение , симметричное к отношению , также является функциональным, то отношение называется взаимно однозначным.

Определение 3.3. Если для каждого сечение содержит ровно один элемент, то функциональное отношение всюду определено.

С функциональным отношением непосредственно связано понятие отображения.

Определение 3.4. Отображение, обозначим его , сопоставляет каждому элементу, называемому аргументом отображения, для которого сечение - непустое множество, единственный элемент подмножества множества . Этот элемент называется образом элемента при отображении .

Множество тех элементов , для которых существует , называется областью определения отображения .

Определение 3.5. Если отображение определено на всём множестве , то говорят, что задано отображение в .

Определение 3.6. Множество образов элементов при отображении называется образом отображения. Если , то образ определяется, как множество образов элементов .

Определение 3.7. Если образ совпадает со всем множеством , то говорят, что задано отображение на , или что - сюръективное отображение, или сюръекция. (При этом требование всюду определённости не является обязательным).

Определение 3.8. Если , то обозначает прообраз множества , т.е. множество тех элементов , для которых .

Отметим очевидные свойства образа и прообраза:

.

Определение 3.9. Если отношение является взаимно однозначным, то отображение, соответствующее , называется обратным к и обозначается . Если при этом отношение всюду определено, то называется инъективным отображением, или инъекцией. Если, кроме того, отображение ещё и сюръективно, то оно называется биективным или биекцией.

Отметим, что выше мы использовали обозначение прообраза и в случаях, когда обратное к отображение не существует. Если же обратное отображение существует, то прообраз можно рассматривать, как образ множества при отображении .

Наиболее часто встречающимся функциональным отношением является обычная функция , определённая на некотором подмножестве числовой прямой, значения которой образуют множество . Действительно, эту функциональную зависимость можно трактовать, как задание подмножества в множестве , в которое входят те пары , для которых выполнено равенство . Изображение этого множества пар на плоскости носит название графика функции.