Целые числа

Потребности в вычислениях не позволяют ограничиться только натуральными числами. Естественно дополнить натуральные числа числом 0 и отрицательными числами. Число 0, по определению, обладает следующими свойствами: для любого натурального числа выполняются равенства .

Нетрудно доказать, что 0 определяется этими свойствами единственным образом..В самом деле, если мы предположим, что есть два элемента, обладающих указанными свойствами, например, , то получим, что .

Точно также, для произвольного натурального числа определим противоположное ему число как такое, что выполняется равенство , т.е. как решение уравнения Натуральные числа, им противоположные числа и число 0 образуют новое множество, называемое множеством целых чисел. Множество целых чисел обозначается Z.

Мы не будем подробно останавливаться на том, как операции сложения и умножения и отношение неравенства переносятся с множества натуральных чисел на множество целых чисел, считая это известным, а просто перечислим свойства целых чисел.Сложение целых чисел обладает следующими свойствами:

1. (ассоциативность, или сочетательный закон).

2. (коммутативность, или переместительный закон).

3. Существует нейтральный элемент по сложению, называемый 0, такой, что для любого целого числа выполняются равенства .

4. Для произвольного целого числа существует противоположное ему число такое, что выполняется равенство .

Свойство 4 позволяет определить на множестве целых чисел операцию вычитания с помощью равенства .

С алгебраической точки зрения эти свойства означают, что множество целых чисел с введённой на нём операцией сложения образует коммутативную группу

 

Умножение целых чисел обладает следующими свойствами:

1. (ассоциативность, или сочетательный закон).

2. (коммутативность, или переместительный закон).

3. (дистрибутивность умножения относительно сложения, или

распределительный закон).

4. Существует нейтральный элемент по умножению такой, что для любого .

С алгебраической точки зрения эти свойства означают, что множество целых чисел с введёнными на нём операциями сложения умножения образует кольцо

Для целых чисел естественно вводится отношение порядка меньше или равно, обозначаемое , и для любых чисел либо , либо .

Отношение порядка обладает такими свойствами:

1. Если одновременно и , то .

2. Если и , то .

3. Если , то для всех выполняется: .

4. Если , то для всех натуральных выполняется: , а для всех отрицательных целых чисел - противоположное неравенство .

Для целых чисел можно определить понятие делимости. Говорят, что целое число делится на целое число без остатка, если существует целое число такое, что .(Обычно это обозначают следующим образом: .) Число называется делимым, число – делителем, число – частным от деления. Если же не делится на число без остатка, то его можно единственным образом представить в виде , где .

Тем самым, мы получили равенство , верное при .

Зафиксируем произвольное целое число и назовём два целых числа сравнимыми по модулю (что обозначается ), если разность делится на . Легко видеть, определённое таким образом отношение обладает всеми свойствами отношения эквивалентности. Классы эквивалентности называются классами вычетов по модулю , в качестве системы представителей можно взять всевозможные остатки от деления на , т.е. числа . Это множество обозначается Z .

Сумму вычетов и определяем, как остаток от деления на числа , произведение вычетов и определяем, как остаток от деления на числа . Операции над вычетами обладают теми же свойствами, что и операции над целыми числами.